Adabiyotlar: 1, 2, 7, 8, 16, 23, 26. Tayanch iboralar

12-ma’ruza. Mavzu: Normal taqsimot parametrlari uchun ishonchli intervallar


Reja:

1. 
   Bahoning aniqligi, ishonchlilik ehtimolligi, ishonchlilik intervali.
   
2. 
   Dispersiya uchun ishonchlilik intervali.
   

Adabiyotlar: 1, 2, 7, 8, 16, 23, 26.
Tayanch iboralar: taqsimot qonuni, tasodifiy miqdor, baho, siljimaydigan baho, samarali baho, empirik o’rta qiymat, tanlanma dispersiya, matematik kutilish, dispersiya, nuqtoviy baholar, asosli baho, intervalli baho, bahoning aniqligi, ishonchlilik intervali, kvantil.


12.4. Bahoning aniqligi, ishonchlilik ehtimolligi, ishonchlilik intervali
Nuqtaviy baho tegishli parametrning tanlanma ma’lumotlariga ko’ra sonli qiymatini beradi, lekin u mazkur bahoning aniqligi va ishonchliligi to’g’risida fikr yuritishga imkon bermaydi. Ayniqsa kichik hajmli tanlanma bo’lgan holda nuqtaviy baho baholanayotgan parametrdan ancha farq qilishi, ya’ni qo’pol xatolarga olib kelishi mumkin. Shu sababli tanlanma hajmi uncha katta bo’lmaganda intervalli bahodan foydalanish maqsadga muvofiq bo’ladi. Ikkita son-intervalning oxirlari bilan aniqlangan baho intervalli baho deb ataladi.
θ-noma’lum parametr, esa tanlanma ma’lumotlari bo’yicha topilgan statistik xarakteristika, ya’ni θ ning bahosi bo’sin.
Ma’lumki, ayirmaning absolyut qiymati qancha kichik bo’lsa, ya’ni <δ shartda δ qancha kichik bo’lsa, baho shuncha aniq bo’ladi. Bunda δ son bahoning aniqligi deyiladi.
<δ tengsizlikning amalga oshishi γ ehtimolligi θ parametrning baho bo’yicha ishonchliligi (ishonchlilik ehtimolligi) deb ataladi, ya’ni

Noma’lum θ parametrni berilgan γ ishonchlilik bilan qoplaydigan ( -δ, +δ) interval ishonchlilik intervali deb ataladi.
Berilgan γ uchun δ qanchalik kichik bo’lsa, baho shunchalik aniqroq bo’ladi, γ qanchalik katta bo’lsa, bu bahoning ishonchliligi shunchalik katta bo’ladi.
Odatda bahoning ishonchliligi oldindan beriladi, bunda sifatida bir soniga yaqin son olinadi. Ko’pincha ihonchlilikni 0,95, 0,99 va 0,999 qilib beriladi.
Misol tariqasida normal taqsimotning parametrlaridan biri- taqsimotning dispersiyasi σ² ma’lum bo’lgan holda noma’lum matematik kutilish uchun ishonchlilik intervalini topamiz.
Faraz qilaylik, X tasodifiy miqdor normal taqsimlangan, uning dispersiyasi D(X)=σ² ma’lum bo’lsin. M(X)=a noma’lum matematik kutilishi bo’lsin. Qaralayotgan tasodifiy miqdorni kuzatish natijasida
x₁, x₂, …, x_n (12.4)
ga ega bo’laylik. Bu x₁, x₂, …, x_n lar ham tasodifiy miqdor bo’lib, ular uchun ham

bo’ladi.
Biz yuqorida (12.4) tanlanma bo’yicha olingan ning matematik kutilishi M( )=a, dispersiya esa bo’lishini ko’rgan edik.
Bu ham normal qonun bo’yicha taqsimlangan tasodifiy miqdor bo’lib, uning parametrlari

ga teng bo’ladi. Bu tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi
(12.5)
bo’ladi.
Endi γ ga ko’ra δ(δ>0) ni aniqlashda ushbu
(12.6)
tenglikdan foydalanamiz.
Agar
(12.7)
bo’lishini e’tiborga olsak, u holda

ga ega bo’lamiz.
(12.5) munosabatdan foydalanib topamiz:
.
Demak, , ya’ni .
Ф(x) funksiyaning xususiyati hamda γ uchun 0< γ <1 bo’lishini e’tiborga olib, shunday α mavjudligini ko’rsatish mumkinki, unda

bo’ladi. Odatda α kvantil deb ataladi. (α ni Ф(x) funksiya uchun tuzilgan jadvaldan topiladi.)
Shunday qilib, bo’lib, undan ekani kelib chiqadi. Natijada munosabat ushbu ko’rinishni oladi:

Shunday qilib, normal taqsimotning noma’lum a parametri (matematik kutilishi) quyidagi ishonchlilik intervali bilan qoplanadi:

Bunda baho aniqligi ga teng bo’ladi.
Hosil qilingan formulalar tanlanma hajmi ortishi bilan baholash aniqligi oshishini ko’rsatadi. Bunda agar γ ishonchlilik orttirilsa, natijada α parametr ortadi va demak, baholash aniqligi kamayadi.
Tanlanma aniqligini baholashda quyidagi uch hol bo’lishi mumkin:

1. 
   bahoning aniqligi δ beriladi, ehtimollikni topish talab etiladi;
   
2. 
   ehtimollik beriladi, δ ni topish talab etiladi;
   
3. 
   bahoning aniqligi δ va ehtimollik berilgan bo’lib, tanlanma hajmi n ni topish talab etiladi.
   

1-misol. Normal taqsimlangan X belgining o’rtacha kvadratik chetlanishi σ=2, tanlanma o’rtacha qiymati va tanlanma hajmi n=10 . Uning noma’lum a matematik kutilishi uchun γ=0,95 ishonchlilik (kafolat) bilan ishonchlilik intervalini toping.
Yechilishi. Avval tenglikdan ni hosil qilamiz. funksiyaning qiymatlari jadvalidan α=1,96 ni topamiz. Endi bahoning aniqligi δ ni formuladan topamiz:
Ishonchlilik intervali yoki , ya’ni 4,16bo’ladi.
Demak, 95% ishonch bilan (4,16;6,64) ishonchlilik intervali noma’lum a parametrni to’la qoplaydi, deb aytish mumkin. Bahoning aniqligi δ=1,24.