Алгебра ва сонлар назарияси (чизиқли алгебра)

Мисоллар.
1. Уч ўлчамли фазодаги векторнинг координаталарига бизнинг берган таърифимиз аналитик геометрияда мавжуд бўлган бирор (умуман айтганда, тўғри бурчакли бўлмаган) кординаталар системасида вектор координаталари учун берилган таъриф билан бир хилдир.
2. V фазони–ҳар бир х вектори n та ( ) сондан тузилган системадан иборат бўлган фазо деб фараз қилайлик.

базисни танлаймиз.
Бу базисда х=( ) векторнинг координаталарини топамиз. Таърифга мувофиқ,
,
( )=
= .
Шундай қилиб, сонлар қуйидаги тенгламалар системасидан топилади:

бундан:

бўлади. Энди V да шундай базисни оламизки, бунда х=( ) векторнинг координаталари билан бу векторни аниқлайдиган сонлар орасида боғланиш энг содда бўлсин. Базис

булсин деб фараз қилайлик. У ҳолда
х=( )= ,
бўлади. Шундай қилиб, ҳар бир векторни n та ( ) сон системаси билан аниқланадиган V фазода бу сонларни

базисдаги х=( ) векторнинг координаталари деб талқин этиш мумкин.
3. V–векторлари даражаси n-1 дан катта бўлмаган кўпҳадлардан иборат фазо бўлсин. Бу фазода векторлар тўплами энг содда базис бўлади. Бу базисда кўпҳад координаталари унинг коэфициентларидан иборат бўлишини кўриш қийин эмас.
Энди бошқа базисни танлаб оламиз:

ҳар бир кўпҳаднинг координаталари қуйидагича бўлади:

4. Базис ўзгарганда координаталарнинг алмашиниши.
ва лар n ўлчамли фазонинг икки базиси деб фараз қилайлик. Ҳамда, векторлар биринчи базис векторлари орқали
(6)
формулалар билан ифодаланган бўлсин, яъни биринчи базисдан иккинчи базисга ўтиш матрицасининг детирминанти нолдан фарқли бўлган матрица билан берилсин.
орқали х векторнинг биринчи базисдаги координаталарини, билан эса унинг иккинчи базисдаги координаталарини белгилайлик. координаталар лар орқали қандай ифода қилинишини топамиз.
Базис координиталари таърифига асосан:
=
Бу тенгликлардаги векторлар ўрнига уларнинг векторлар орқали ифодасини қўйсак,
=

айният хосил булади. векторлар чизиқли эркли бўлгани учун, уларнинг тенгликнинг ўнг ва чап томонидаги коэфициенталари бир хилдир. Демак,
(7)
тенгликлар уринли, яъни х векторнинг биринчи базисдаги координаталари унинг иккинчи базисдаги координаталари орқали А матрицанинг транспозицияланган матрицаси ёрдами билан ифодаланади.
Бу натижани бошқача шаклда ҳам тасвир этиш мумкин. (7) тенгламаларни ларга нисбатан ечамиз. У ҳолда:

ҳосил бўлади, бунда лар матрицага тескари бўлган матрица элементларини билдиради. Шундай қилиб, биз кўрамизки, векторнинг координаталари матрицага тескари бўлган матрица ёрдами билан алмаштирилдади. Бундаги матрица базис алмаштирилишини кўрсатувчи А матрицани транспозициялаб ҳосил қилинган матрицадир.