Algebraik interpoiyatsiyalash masalasining qo‘yilishi

Nyuton birinchi va ikkinchi interpolyatsion formulasi

Faraz qilaylik funksiya uchun qiymatlar berilgan va interpolyatsiya tugunlari teng uzoqlikda joylashgan bo'lsin, ya’ni ( - interpolyatsiya qadami). Argumentning mos qiymatlarida darajasi dan oshmaydigan mos qiymatlar oladigan ko'phad tuzish lozim bo'lsin va bu ko'phad quyidagi ko'rinishga ega bo'lsin:
(7)
Bu -tartibli ko'phad. Interpolyatsiya masalasidagi shartga ko'ra
ko'phad interpolyasiya tugunlarida qiymatlarni qabul qiladi, deb tasavvur etsak, (7) formuladan , ya’ni , so'ngra ga va larning qiymatlarini berib, ketma-ket quyidagiga ega bo'lamiz:
bunda , yani Yoki , bundan
.
Bu jarayonni davom ettirib, uchun quyidagi ifodani hosil qilamiz:

Topilgan koeffitsientlarning qiymatlarini (7) formulaga qo'ysak,

(8)
ko'rinishga ega bolamiz. Bu formulada ya`ni belgilash kiritilsa, u holda

va h.k.
Natijada Nyutonning 1-interpolyatsion formulasiga ega bo`lamiz:
(9)
Nyutonning 1- interpolyatsion formulasini ning boshlangich nuqtalarida qollash qulay.
Agar bo'lsa, u holda ko`rinishidagi chiziqli interpolyatsion formulaga, n=2 bo'lganda esa

ko'rinishdagi parabolik interpolyatsion formulaga ega bo'lamiz.
Nyutonning 1- formuiasini oldinga qarab inierpolyatsiyalash formulasi ham deyiladi.
(9) formulaning qoldiq hadi
(10)
bu yerda .
Funksiyaning analitik ko'rinishi har doim ham ma’lum bo'lavermaydi. Bunday hollarda chekli ayirmalar tuzilib,

deb olinadi. U holda Nyutonning birinchi interpolyatsion formulasi uchun xatolik
formula orqali topiladi.
Nyutonning birínchi interpolyatsion formulasi jadvalning boshida va ikkinchi formulasi esa jadvalning oxirida interpolyatsiyalash uchun mo'ljallangan. Nyutonning ikkinchi interpolyatsion formulasini keltirib chiqaramiz.
Faraz qilaylik funksiyaning ta qiymati ma’lum bolsín,ya’ni argumentning
qiymatlarida funksiyaning qiymatlari bo`lsin. Tugunlar orasidagi masofa o'zgarmas bo’lsin. Quyidagi ko'rinishdagi interpolyatsion ko'phadni quramiz:
(12)
Bunda qatnashayotgan noma’lum koeffitsientlarni topishni bo’lgan holdan boshlash kerak. So'ngra argumentga qiymatlar berib, qolgan koeffitsientlar aniqlanadi.
Nyutonning birinchi interpolyatsion formulasida ko‘rilgan mulohazalarni (12) formula uchun ham qo'llasak, u holda noma’lum koeffitsientlar larni topish uchun quyidagilarni hosil qilamiz:

Topilgan koeffitsientlarning qiymatlarini (12) formulaga qo‘ysak,
(13)
ko'rinishdagi Nyutonning ikkinchi interpolyatsion formulasi kelib chiqadi. Bu formulada belgilash kiritsak,
(14)
hosil bo'ladi. Ba’zan bu formulani orqaga qarab interpolyatsiyalash formulasi ham deyiladi. (14) formuladan kesmaning oxirgi nuqtalarida foydalanish qulayroqdir.
Nyutonning ikkinchi interpotyatsion formulasining qoldiq hadini baholash formulasi quyidagicha boladi:

bu yerda .
Agar funksiyaning analitik ko'rinishi ma’lum bo'lmasa, u holda chekli ayirmalar tuzilib,

deb olinadi. Shuning uchun Nyutonning ikkinchi interpolyatsion formulasi uchun xatolik formulasi

bo`ladi.