Algebraik interpoiyatsiyalash masalasining qo‘yilishi

1. 
   Interpoiyatsiyalash masalasining qo‘yilishi
   
2. 
   Interpolyatsiyalash xatoligi
   
3. 
   Nyuton birinchi va ikkinchi interpolyatsion formulasi
   

1. 
   Algebraik interpoiyatsiyalash masalasining qo‘yilishi
   

Aksariyat hisoblash usullari masalaning qo'yilishida qatnashadigan funksiyalarni unga biror muayyan ma’noda yaqin va tuzilishi soddaroq bo'lgan funksiyalarga almashtirish g'oyasiga asoslangan.
Interpolyatsiya masalasining mohiyati quyidagidan iborat. Faraz qilaylik funksiya jadval ko'rinishida berilgan bo'lsin:

Odatda interpolyatsiyalash masalasi quyidagicha ko‘rinishda qo‘yiladi: Shunday n- tartiblidan oshmagan ko'phad topish kerakki, berilgan nuqtalarda bilan bir xil qiymatlarni qabul qilsin, ya’ni .
Bu masalaning geometrik ma’nosi quyidagidan iborat: darajasi dan ortmaydigan shunday

ko’phad qurilsinki, uning grafigi berilgan nuqtalardan o'tsín (1- rasm). Bu yerdagi nuqtalar interpolyatsiya tugun nuqtalari yoki tugunIar deyiladi. esa interpolyatsiyaIоvchi funksiya deyiladi.

1-rasm. grafigi asosida ko’phad qurish

2. 
   Interpolyatsiyalash xatoligi
   

Amalda topilgan interpolyatsion formula funksiyaning berilgan argumentning (interpolyatsiya tugunlaridan farqli) qiymatlarini hisoblash uchun qo'llaniladi. Ushbu operatsiya funksiyani interpolyatsiyalash deyiladi. Agar bo'lsa interpolyatsiyalash bo`lsa, ekstrapolyatsiyalash deyiladi). Biz funksiyani interpolyatsion ko‘phadga almashtirganimizda

xatolikka yo‘l qo‘yamiz. Bu interpolyatsiyalash xatoligi deyiladi. Tugun nuqtalarda xatolik nolga teng. ga tegishli ixtiyoriy nuqtadagi ifodasini topamiz va baholaymiz. Buning uchun quyidagi funksiyani qaraymiz:
(1)
bu yerda - o‘zgarmas va
(2)
(1) dagi o ‘zgarmas K ni shartdan topamiz:
(3)
funksiya da marta uzluksiz differensiallanuvchi bo`lsin deymiz. funksiya da ta nuqtada nolga teng,ular . Roll teoremasiga asosan, ga tegishli ta, ta nolga ega bo`ladi va hokazo. da kamida bitta nolga ega bo'ladi, ya'ni (1) dan marta hosila olib, , desak, quyidagiga ega bo’lamiz:
(4)
(3) va (4) dan
(5)
kelib chiqadi.Bundan
(6)
bunga ega bo`lamiz, bu yerda

Bizga da aniqlangan funksiyaning ga tegishli turli nuqtalarda qiymatlari ma’lum bo‘lsin.
Quyidagicha aniqlangan

miqdorlar birinchi tartibli ayirmalar nisbati deyiladi, ular yordamida aniqlangan

miqdorlar ikkinchi tartibli ayirmalar nisbati deyiladi.
Yuqori tartibli ayirmalar nisbati ham shunday aniqlanadi, masalan, -tartibli va ayirmalar nisbati ma’lum bo ‘lsa, -tartibli ayirmalar nisbati

aniqlanadi,
Ayirmalar nisbati quyidagi xossalarga ega.
1- xossa. Algebraik yig'indidan olingan ayirmalar nisbati qo‘shiluvchilardan olingan ayirmalar nisbatlarining yig‘indisiga teng.
2- xossa. O‘zgarmasni ayirmalar nisbati belgisidan tashqariga chiqarish mumkin.
3- xossa. Ayirmalar nisbati o’z argumentlariga nisbatan simmetrik funksiyadir.
4- xossa. -darajali algebraik ko’phaddan olingan -tartibli ayirmalar nisbati, agar bo‘lsa nolga, da o'zgarmasga va bo‘lsa argumentlariga nisbatan
-darajali simmetrik birjinsli ko‘phadga teng.

3.