Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti sonlar nazariyasi asoslaridan

Yechish. an = bqn + rn dan rn < b va . 

4-m i s o l. Uchta ketma-ket natural sonlardan bittasi 3 ga bo’linishini isbotlang.
Yechish. Natural sonni 3k, 3k + 1, 3k + 2 sonlarning bittasi shaklida ifodalash mumkin. Agar n = 3k bo’lsa, u holda 3|n; agar n = 3k + 1 bo’lsa, u holda 3|n + 2; agar n = 3k + 2 bo’lsa, u holda 3|n+1. 
5-m i s o l. Agar besh xonali son 41 ga bo’linsa, shu sonni tashkil qilgan raqamlarni aylanma almashtirish yordamida hosil bo’lgan har qanday sonning 41 ga bo’linishini isbotlang.
Yechish. Besh xonali son N=10⁴a+10³b+10²s+10d+e bo’lsin va u 41 ga bo’linsin. Raqamlarni aylanma almashtirishdan (chapga bir raqamga) quyidagi sonni hosil qilamiz:
N₁=10⁴ b + 10³ c + 10² d + 10 e + a =
10(10⁴ a + 10³ b + 10² c + 10 d + e) - 10⁵ a + a = 10N – 99999 a.
41 N va 4199999 dan 41 N₁ kelib chiqadi. 
6-m i s o l. ko’rinishdagi barcha sonlar 7 raqam bilan tugashini isbotlang.
Yechish. . Agar bo’lsa, u holda

7-m i s o l. 71113=1001 ni bilgan holda 7, 11, 13 ga umumiy bo’linish alomatini keltirib chiqaring. Bu alomatni 368312 ga qo’llang.
Yechish. N = 1000q + r = 1001q + r – q dan N son 7, 11 va 13 ga bo’linishi uchun shu sondan uning 1000 ga bo’linganida hosil bo’lgan qoldiqdan ayirmasi 7, 11 yoki 13 ga bo’linishi zarur va yetarligi kelib chiqadi, ya’ni . Agar N = 368312 bo’lsa, yuqorida keltirilgan ayirma 368 – 312 = 56.
56 faqat 7 ga bo’linganligi sababli 368312 7 ga bo’linadi, lekin 11 va 13 ga bo’linmaydi. 
8-m i s o l. To’rtta ketma-ket joylashgan butun sonlar ko’paytmasiga bir qo’shilganda to’liq kvadrat hosil bo’lishini isbotlang.
Yechish. n – 1, n, n + 1, n + 2 – to’rtta ketma-ket keladigan butun sonlar bo’lsin. U holda
.
9-m i s o l. 11¹⁰ – 1 sonni 100 ga bo’linishini isbotlang.
Yechish. Nyuton binomini qo’llaymiz:
.