Amaliy mashg‘ulot

Amaliy mashg‘ulot

FUNKSIYA UZLUKSIZLIGI. UZLUKLI FUNKSIYALAR
Ta’rif. Agar x₀ nuqtaning biror atrofida (x₀ nuqtaning o’zida ham) y=f(x) funksiya aniqlangan bo'lsa va agar

(1)

bo‘lsa, x=x₀ qiymatda (yoki x₀ nuqtada) funksiya uzluksiz deyiladi. (1)ifodaning uzluksizlik shartini bunday yozish mumkin:

yoki .

x₀ nuqtada uzluksiz f(x) va g(x) funksiyalar bo‘lsa, u holda x₀ nuqtada quyidagi funksiyalar ham uzluksiz bo‘ladi:

1. 
   f(x)+g(x)
   
2. 
   k f(x) (k-o‘zgarmas)
   
3. 
   
   
4. 
   (g(x₀) 0)
   

Agar f(x) funksiya kesmada uzluksiz bo‘lsa va kesmaning chetki nuqtalarida turli ishorali qiymatlarga erishsa ( ), u holda (a; b) internalga tegishli kamida bitta c nuqta topiladiki, f(c)=0 tenglik bajariladi.

Agar f(x) funksiya x₀ nuqtada uzluksiz bo‘lmasa, funksiya x₀ nuqtada urilishga ega yoki x₀ nuqta uning uzilish nuqtasi deyiladi.

y=f(x) funksiyaning x₀ nuqtada chapdan va o‘ngdan limitlari mavjud bo‘lib, o‘zaro teng bo‘lmasa, ya’ni

,

u holda x₀ nuqta funksiyaning birinchi tur urilish nuqtasi deyiladi.

Agar x₀ nuqtada funksiyaning chapdan va o‘ngdan limitlari f(x₀-0) va f(x₀+0) lar o‘zaro teng bo‘lib, funksiyaning x₀ nuqtada erishadigan qiymati f(x₀) dan farq qilsa, unda x₀ nuqta bartaraf etilishi mumkin uzilish nuqtasi deb ataladi.

y=f(x) funksiyaning x₀ nuqtada chapdan yoki o‘ngdan limitlarining biri mavjud bo‘lmasa (xususan, cheksiz bo‘lsa), u holda x₀ nuqta funksiyaning ikkinchi tur uzilish nuqtasi deyiladi.

23.1. Quyidagi funksiyalarning ko‘rsatilgan nuqtalarida bir tomonli limitlarini toping:

a) f(x)= x=1 nuqtada

b) x=1 x=2 nuqtalarda

c) ning kasr qismi; x=1, x=2, x=3 nuqtalarda

d) nuqtada

Mustaqil yechish uchun misollar

23.2. Quyidagi funksiyalarning uzluksizligini ta’rifga binoan isbotlang.

a) barcha larda

Demak, f(x) barcha larda uzluksiz.

b) barcha larda

c) , barcha larda

Quyidagi funksiyalarning uzilish nuqtalari va ularning turlarini aniqlang. Grafiklarini yasang:

23.3.

f(x) funksiya va intervallarda aniqlangan va uzluksiz bo‘lgan elementar funksiyalar bilan berilgan. Demak, faqat nuqtalarda uzulishga ega bo‘lishi mumkin.

nuqta uchun chap va o‘ng limitlarni hisoblaymiz:

Bu esa nuqtada f(x) fuksiya birinchi tur uzilishga ega bo‘lishini bildiradi. nuqta uchun:

bo‘ladi.

nuqtada funksiya 1-tur uzilishga ega bo‘ladi.

23.4. 23.5.

23.6. 23.7.

23.8. 23.9.

23.10. 23.11.

23.12.

Funksiyalarning uzilish nuqtalarini toping va uzilish turlarini aniqlang:

23.13. 23.14.

23.15. 23.16.

Quyidagi tenglamalar ko‘rsatilgan kesmalarda yechimga ega ekanligini ko‘rsating:

23.17. a) kesmada. Bu funksiya da uzluksiz. Kesmaning uchlaridagi qiymatlari bo‘lib, turli ishorali. Boltsano – Koshi teoremasiga binoan (-1; 0) da biror c nuqta topib bo‘lib, c berilgan tenglamalarning yechimi bo‘ladi.

b)

c) ;

d)

23.18. Quyidagi funksiyalar ko‘rsatilgan kesmalarda chegaralanganligini isbotlang:

a)

funksiyalarning har biri da uzluksiz bo‘lganligi uchun, funksiya ham [0;10] da uzluksiz. Shuning uchun Veyershtrass teoremasiga binoan f(x) funksiya [0;10] da chegaralangan.

b)

c)

23.19. Bir tomonlama limitlarini toping:

a) nuqtada

b) y=[x], [x] – x ning butun qismi

x=-2, x=0 , x=1 nuqtalarda

c) nuqtada.

23.20. Funksiyalarning uzluksizligini ta’rifga binoan izbotlang:

a)

b)
Quyidagi funksiyalarning uzilish nuqtalari va uzilish turlarini aniqlang:

23.21. 23.22.

23.23.

23.24. 23.25.