Aniq integral. Aniq integralning xossalari. Yuzani va jismni aylanishdan hosil bo’ladigan hajmni hisoblash formulasi

IX xossa(O‘rta qiymat haqidagi teorema): Agar f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo‘lsa, bu kesmada shunday ξ nuqta mavjudki, unda
(22)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot: Berilgan f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo‘lgani uchun, Veyershtrass teoremasiga asosan, u bu kesmada o‘zining eng kichik m va eng katta M qiymatlarini qabul etadi. Shu sababli bu funksiya uchun VII xossani ifodalovchi (20) qo‘sh tengsizlik o‘rinli va uni quyidagicha yozish mumkin:
.
Bu qo‘sh tengsizlik orasida turgan sonni μ deb belgilasak, unda kesmada uzluksiz funksiya xossasiga asosan (VI bob, §5, 5-teorema natijasi), [a,b] kesmada shunday ξ nuqta mavjudki, unda f(ξ)=μ bo‘ladi. Bu yerdan, belgilashimizga asosan,

ekanligi kelib chiqadi.
5-TA’RIF: (22) tenglik orqali aniqlanadigan

soni f(x) funksiyaning [a,b] kesmadagi o‘rta qiymati deb ataladi.