Aniq integral va uni hisoblash

Teorema (o‘rta qiymat haqida). Agar funksiya kesmada uzluksiz bo‘lsa, bu kesmaning ichida shunday nuqta topiladiki,



Funksiyaning bu nuqtadagi qiymati uning shu kesmadagi o‘rta qiymati bo‘ladi.


y













0 a c b x

1-chizma.

O‘rta qiymat haqidagi teoremaning geometrik ma’nosi quyidagicha(1-chizma): yuqoridan integral osti funksiyasi ning grafigi bilan chegaralangan, asosli egri chiziqli trapesiyaning yuzi o‘shanday asosli va balandligi funksiyaning o‘rta qiymatiga teng to‘g‘ri to‘rtburchakning yuziga tengdosh.

9. 
   Agar funksiya kesmada uzluksiz va bo‘lsa, quyidagi tenglik o‘rinli
   

9. 
   Agar funksiya funksiyaning qandaydir boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsa,
   

tenglik o‘rinli. Bu formula Nyuton-Leybnis formulasi deyiladi.
1-misol

Aniq integralni hisoblang: .

►Integral ostidagi funksiyani hadlab bo‘lamiz va yuqoridagi xossalardan foydalanib integralni hisoblaymiz. .◄

2-misol

Aniq integralni hisoblang: .

►Integral ostidagi funksiyani sodda kasrlarga ajratamiz:

Bundan, . Natijada,

.◄
funksiya kesmada uzluksiz, funksiya hosilasi bilan kesmada uzluksiz va monoton, va murakkab funksiya da uzluksiz bo‘lsa, u holda quyidagi



aniq integralda o‘zgaruvchini almashtirish formulasi o‘rinli.
3-misol

Aniq integralni hisoblang: .

► deb almashtirish bajaramiz. U holda , da va da ni hosil qilamiz. Natijada, (5.4) formulaga ko‘ra,



.◄

Agar va funksiyalar kesmada uzluksiz hosilalarga ega bo‘lsa, quyidagi

yoki qisqacha

aniq integralda bo‘laklab integrallash formulasi o‘rinli.