Aniqmasliklarni ochish. Lopital qoidalari

1.3.6-teorema. intervalda aniqlangan va funksiyalar uchun ushbu shartlar bajarilgan bo’lsin:

1. 
   
   
2. 
   da chekli va hosilalar mavjud va
   
3. 
   chekli yoki cheksiz). U holda
   

tenglik o’rinli bo’ladi.

Isbot.Umumiylikni saqlagan holda, teoremadagi sonni musbat deb olish mumkin. o’zgaruvchini ushbu formula yordamida o’zgaruvchiga almashtiramiz. U holda da .

Natijada va funksiyalar o’zgaruvchining ) va funksiyalari bo’lib, ular intervalda aniqlangan.

Teoremaning 1) sharti quyidagi

ko’rinishni oladi.

intervalda , funksiyalar hosilalarga ega. Haqiqatan ham, murakkab funksiya hosilasi haqidagi 1.3.1-teoremaga ko’ra topamiz:

Bu munosabatlardan , hosilalarning mavjudligi kelib chiqadi.

So’ngra

bo’lishidan esa ning mavjudligi va ekanini topamiz.

Shunday qilib, ) intervalda aniqlangan funksiyalar uchun quyidagiga egamiz:

1. 
   
   
2. 
   intervalda hosilalar mavjud va
   
3. 
   
   

U holda yuqorida isbot etilgan 1.3.5-teoremaga ko’ra

bo’ladi. Keyingi tenglikdan esa

bo’lishi kelib chiqadi.Teorema isbot bo’ldi.

1.3.6-misol. Ushbu

limitni hisoblang.

Bu holda bo’lib, ular uchun 1.3.6-teoremaning barcha shartlari bajariladi jumladan

bo’lib,

bo’ladi. 1.3.6-teoremaga ko’ra

. ko’rinishdagi aniqmaslik.

Ma’lumki, da bo’lsa, nisbat ko’rinishdagi aniqmaslikni ifodalaydi. Bunday aniqmaslikni ochishda ham va funksiyalarning hosilalaridan foydalanish mumkin.