Asosiy qism: Signallar haqida umumiy

Furye almashtirishining simmetrikligi. Faraz qilaylik, 𝑠⁽𝑡⁾ juft signalning haqiqiy spektri 𝑆^̇(𝜔⁾ = 𝑆(𝜔) ga teng bo‘lsin, ma’lumki spektral funksiya ham chastota 𝜔 ning juft funksiyasi bo‘ladi. U holda 𝑆⁽𝑡⁾ signal 2𝜋𝑠⁽𝜔⁾ spektrga ega bo‘lishi kerak. Aynan exp(±𝑗𝜔𝑡) yadrosiga kiruvchi argumentlar 𝜔 va 𝑡 larning “o‘zaro almashinuvi” (2.31) va (2.32) ifodalar juftligining simmetrikligidan dalolat beradi.
Davriy ketma-ketlikning spektri va yakka impulsning spektral funksiyasi orasidagi bog‘liqlik. Furye kompleks qatori koeffitsiyentlarini hisoblash formulasi, ya’ni (2.22) ifoda
𝑇
¹ −𝑗𝑘𝜔₁𝑡

𝐶_𝑘 = _𝑇 ∫ 𝑟(𝑡)𝑒
0
𝑑𝑡

va (2.31) ifoda, ya’ni Furye to‘g‘ri almashtirishi yoki 𝑟(𝑡) davriy ketma-ketlik impulsini tasvirlovchi impulsning spektral funksiyasi
∞
𝑅^{̇ (}𝜔⁾ = ∫ 𝑟⁽𝑡⁾𝑒^{−𝑗𝑘𝜔1𝑡}𝑑𝑡,
−∞
ni taqqoslab, ular orasida juda sodda bog‘lanish mavjudligini ko‘rishimiz mumkin

̇ ₍
1
𝐶 = 𝑅 𝑘𝜔





⁾. (2.37)

𝑘 _𝑇 1

3. Signalni vaqt bo‘yicha surish

Misol uchun 𝑠₁⁽𝑡⁾ signal 𝑡₁ < 𝑡 < 𝑡₂ vaqt orasida mavjud bo‘lib, 𝑆₁
⁽𝜔⁾

spektr zichligiga ega bo‘lsin. Ushbu signal 𝑠₁⁽𝑡⁾ ni shaklini saqlagan holda uni 𝑡₀
ga kechiktirsak, u holda vaqtning yangi funksiyasi 𝑠₂⁽𝑡⁾ ni olamiz, ya’ni 𝑠₂⁽𝑡⁾ =
𝑠₁⁽𝑡 − 𝑡₀⁾ bo‘lib, endi bu signal 𝑡₁ + 𝑡₀ dan 𝑡₂ + 𝑡₀ gacha vaqt oralig‘ida mavjud bo‘ladi. (2.31) ifodaga asosan 𝑠₂⁽𝑡⁾ signalning spektri zichligi quyidagi ifoda orqali aniqlanadi:
𝑡₂+𝑡₀ 𝑡₂+𝑡₀
𝑆₂⁽𝜔⁾ = ∫ 𝑠₂⁽𝑡⁾𝑒^{−𝑗𝜔𝑡}𝑑𝑡 = ∫ 𝑠₁⁽𝑡 − 𝑡₀⁾𝑒^{−𝑗𝜔𝑡}𝑑𝑡 . (2.38)
𝑡₁+𝑡₀ 𝑡₁+𝑡₀
Yangi o‘zgaruvchi 𝑟 = 𝑡 − 𝑡₀ ni kiritib (5.38) ifoda o‘rniga quyidagi ifodani olamiz:

𝑆₂
𝑡₂
⁽𝜔⁾ = 𝑒^{−𝑗𝜔𝑡0} ∫ 𝑠₁⁽𝑟⁾𝑒^{−𝑗𝜔𝑐}𝑑𝑟 = 𝑒^{−𝑗𝜔𝑡0} 𝑆₁
𝑡₁


⁽𝜔⁾. (2.39)

(2.39) ifodadan ko‘rinadiki signal 𝑠⁽𝑡⁾ ni ±𝑡₀ ga siljitish natijasida uning spektri 𝑆^̇(𝜔⁾ ning faza xarakteristikasi ±𝜔𝑡₀ ga o‘zgaradi. Aksincha, agar 𝑠⁽𝑡⁾ signal spektral tashkil etuvchilarini 𝜑 = ±𝜔𝑡₀ ga o‘zgartirsak, u holda u bilan chiziqli bog‘liq ravishda har bir spektr tashkil etuvchisi ±𝜔𝑡₀ ga o‘zgaradi va signal ±𝑡₀ vaqtga kechikadi yoki ilgarilaydi. Signalning amplituda spektri, ya’ni
amplituda-chastota xarakteristikasi ushbu signalning vaqt o‘qida egallagan joyiga bog‘liq emas.

Furye almashtirishning yuqorida keltirilgan xossasi chiziqli radiotexnik tizimlardan signallar buzilishsiz o‘tishlarini ta’minlashi uchun qo‘yiladigan talabni keltirib chiqaradi: chiziqli tizimning amplituda-chastota va faza-chastota xarakteristikasi signal spektri (yoki signal spektri quvvatining asosiy qismi) joylashgan qismida chiziqli bo‘lishi kerak. Misol uchun, chiziqli tizim uzatish koeffitsiyentining moduli 𝐾⁽𝜔⁾ = 𝐾₀ va faza-chastota xarakteristikasi chastotaning chiziqli funksiyasi 𝜑⁽𝜔⁾ = −𝑡₀ bo‘lsin (2.7-rasm), chiziqli tizim
kirishiga spektri zichligi 𝑆^̇(𝜔⁾ bo‘lgan 𝑠⁽𝑡⁾ signal ta’sir etsin, u holda uning
chiqishidagi signal

^𝑠𝑐ℎ𝑖𝑞
⁽𝑡⁾ = ¹
2𝜋
∞
∫ 𝑆^̇(𝜔⁾𝐾^{̇ (}𝜔⁾𝑒^𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔 = ¹
2𝜋
−∞
∞
∞
∫ 𝑆^̇(𝜔⁾𝐾₀
−∞


_𝑒−𝑗𝜔𝑡_{0 𝑒}𝑗𝜔𝑡_{𝑑𝜔 =}

= 𝐾 ¹ ∫ 𝑆^̇(𝜔⁾𝑒^{𝑗𝜔(𝑡−𝑡0)}𝑑𝜔. (2.40)
⁰ 2𝜋
−∞
(2.40) ifodani quyidagi ko‘rinishda ham yozish mumkin
𝑠_{𝑐ℎ𝑖𝑞}⁽𝑡⁾ = 𝐾₀𝑠⁽𝑡 − 𝑡₀⁾. ⁽2.41⁾ Amplituda-chastota 𝐾(𝜔) va faza-chastota xarakteristikasi φ(𝜔) chiziqli bo‘lgan signal tizim orqali o‘tganda o‘z shaklini to‘liq saqlab qoladi, faqat signalning qiymati o‘zgaradi 𝐾₀ marta kattalashadi (kichiklashadi) va ushbu tizim

0
faza-chastota xarakteristikasi qiyaligi ^𝑑Ψ = 𝑡 ga teng vaqtga kechikadi.
𝑑𝜔
ω
2.7-rasm. Axborot uzatish ideal tiximning AChX va FChXlari
Shuni alohida ta’kidlash kerakki, haqiqatda amalga oshirish mumkin bo‘lgan tizimlarning FChXlari qiyaligi tizimning signal o‘tkazish polosasida hamma vaqt

manfiy bo‘ladi, chunki chiqish signali hech vaqt kirish signalidan avval paydo bo‘lmaydi.