Б. Файзуллаева 1 12-тема. Несобственные интегралы

Пример 3. Покажите расходимость несобственного интеграла
Решение. По определению
Так как этот предел не существует, данный интеграл является расходящимся. 
 
2. Свойства сходящихся интегралов. Основные формулы. 
1. Несобственные интегралы от неотрицательных функций. 
 
Пусть функция 
определена на промежутке и для , 
Предположим, что функция интегрируема на любой части
промежутки Тогда для
справедливо

---

Доц. Б. Файзуллаева 
3 
Следовательно, функция
является возрастающей и при функция всегда 
имеет предел (конечный или бесконечный). 
Используя из теоремы о пределе монотонной функции, придем к теореме об условии 
сходимости несобственного интеграла. 
Теорема 1. Если для всех 
выполняется неравенство то для 
сходимости интеграла
необходимо и достаточно, чтобы функция (18.1) была 
ограничена сверху, т.е. для 
Следствие 1. Если множество
неограниченно, то интеграл
расходится. 
Теорема 2.(признак сравнения). Пусть функции 
 и    определена на 
промежутке 
 и для выполняется неравенство 
. (5) 
Тогда: 
а) из сходимости интеграла 
следует сходимость интеграла 
b) из расходимости интеграла  
следует расходимость интеграла 
(док-во. см.[1],том1, стр.675). 
Теорема 3. Пусть функции 
 и    определена на промежутке   и для
выполняется неравенство Пусть
 
Тогда:
а) если
и интеграл
сходится, то интеграл 
также 
сходится; 
b) если
и интеграл
расходится, то интеграл,
также 
расходится. 
Теорема 4. Если для достаточно большого значения 
и 
для 
имеет место неравенство 
, то при сходится интеграл 
если 
и , то расходится интеграл
Теорема 5. Если при
функция является бесконечно малой степени 
относительно функции
, то интеграл
сходится при 
расходится при