Балашовский филиал

L(X ) = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + c_jx_j + ... + c_nx_n  min.
Рассмотренная задача оптимизации является одним из примеров задач линейного программирования. Она носит название задачи об использовании ресурсов. В зависимости от конкретной экономической ситуации
в качестве ресурсов могут выступать: оборудование, рабочая сила, сырье, деньги, производственные площади и т. п.
С и т у а ц и я 2. Научно-производственное объединение занимается разработкой и производством комплексных удобрений. На данный момент в своем распоряжении оно имеет n видов удобрений, каждое из которых содержит m элементов непосредственного питания растений. Такими элементами могут быть азот, фосфор, калий, магний, медь, марганец и др. Известно, что одна единица j-го вида удобрений (j = 1, 2,…, n) содержит a_ij единиц i-го (i = 1, 2,…, m) элемента непосредственного питания растений и имеет стоимость c_j. Необходимо изготовить смешанное комплексное удобрение (тукосмесь), получаемое механическим смешением имеющихся удобрений. При этом тукосмесь должна иметь следующую «химико-экономическую» характеристику:

• 
  содержание каждого i-го элемента питания не менее b_i(i = 1, 2,…, m);
  
• 
  наименьшую стоимость.
  

Рассмотрим математическую модель данной экономической ситуации. Обозначим через x_j количество j-го удобрения, используемого при изготовлении тукосмеси. Конечно, x_j ≥ 0 (j = 1, 2,…, n). Для каждого i-го
(i = 1, 2,…, m) элемента питания, согласно «химико-экономической» характеристике тукосмеси, имеет место следующее неравенство-ограничение: a_i1x₁ + a_i2x₂ + ... + a_inx_n ≥ b_i. Стоимость комплексного удобрения составляет c₁x₁ + c₂x₂ + ... + c_nx_n. Эту величину необходимо минимизировать.
Таким образом, математическая модель предложенной экономической ситуации имеет следующий вид:
L(X) = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + c_jx_j + ... + c_nx_n min,
b_i, i =1, 2,…, m;
x_j ≥ 0, j=1, 2,…, n.
Рассмотренная задача носит название задачи о смесях. К ним относят задачи определения состава сплавов, кормовых смесей, смесей горючего и т. п., а также определения урожайности кормовых культур, составления рациона питания.
С и т у а ц и я 3. На пунктах отправления А₁,…, А_m находится соответственно a₁,…, a_m единиц однородного груза. Его следует доставить получателям в пункты назначения В₁,…, В_n , причем в каждый из которых — соответственно b₁,…, b_n единиц этого груза. Стоимость перевозки единицы груза из пункта А_i в пункт В_j равна c_ij. Требуется составить такой план перевозок, который требовал бы минимальных затрат. При этом предполагается, что транспортные расходы пропорциональны перевозимому количеству груза (то есть перевозка k единиц груза требует расходов
в размере kc_ij), а общий объем груза, готового к отправлению, совпадает
с объемом груза, который готовы принять в пунктах назначения: