Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini taqribiy yechishning oddiy iterasiya va Zeydel usullari. Iterasion jarayon yaqinlashishining zaruriy va yetarli shartlari

2. Zeydel usuli yordamida chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini taqribiy yechish
Faraz qilaylik quyidagi sistema berilgan bo’lsin:
(15.2.1)
Takribiy yechish usullari orqali sistemaning yechimini aniqlaymiz (ya’ni shunday usullarni qo’llash lozimki hisoblashlarni yaxlitlanmasdan yechim ni ma’lum bir aniqlikda topish lozim).
Agar (15.2.1) ning noma’lumlari soni ko’p bo’lsa, uning aniq yechimini topish qiyinlashadi. Bunday hollarda sistemaning yechimlarini topish uchun taqribiy usullardan foydalaniladi. Bu esa yechimni topish vaqtini 20-30% kamaytiradi. Yaxlitlash xatoliklari esa aniq usullar yordamida yechilganga qaraganda kamroq ta’sir qiladi, bundan tashqari hisoblash vaqtidagi xatoliklar yechimni topishning keyingi qadamida tuzatiladi.
Algebraik tenglamalar sistemasini taqribiy yechishning keng tarqalgan usullaridan biri Zeydel usulidan iboratdir.
Zeydel usulining mazmuni
Faraz qiliylik (15.2.1) sistema berilgan bo’lsin va undagi diagonal koeffisentlar noldan farqli bo’lsin, ya’ni . Sistemaning birinchi tenglamasini ga, ikkinchisini ga nisbatan yechib quyidagi sistemaga ega bo’lamiz.
(15.2.2)
Bu yerda , da va , da.
(15.2.2) sistemani ketma-ket yaqinlashish usulida yechamiz.
Nolinchi yaqinlashish sifatida larni shunday tanlaymizki, ular larga iloji boricha yaqin bo’lsin.
Nolinchi yaqinlashish sifatida ko’pchilik hollarda larning taqribiy qiymatlari olinadi. k-chi yaqinlashishni ma’lum deb, (k+1) yaqinlashishni quyidagi formula orqali aniqlaymiz.
(15.2.3)
Bu usulning mazmuni shundan iboratki, (k+1) chi yaqinlashishda noma’lum ning ifodasida undan oldingi hadlarning (k+1) chi yaqinlashishlari qo’llaniladi.
Bu keltirilgan yaqinlashishning zaruriy sharti quyidagi teorema orqali beriladi.
Teorema. Agar (15.2.2) sistema uchun quyidagi tengsizliklarning
1)
yoki
2)
birortasi bajarilsa (15.2.3) iterasiya jarayoni sistemaning yechimiga yaqinlashadi va u nolinchi yaqinlashishga bog’liq bo’lmaydi.
Natija: Quyidagi sistema uchun

iterasiya jarayoni yaqinlashuvchi bo’ladi, agarda

tengsizlik bajarilsa, ya’ni har bir tenglamada diagonal koeffisiyentlarining moduli qolgan boshqa koeffisiyentlar modullarining yig’indisidan katta bo’lsa (ozod hadlarni hisobga olmaganda).
3-Misol. Zeydel usulini qo’llab quyidagi sistemaning yechimini topaylik:
(15.2.4)
Yechish: Berilgan sistemani (15.2.2) ko’rinishdagi sistemaga keltiramiz:
.
Haqiqatan ham bu sistema uchun zaruriy shart bajariladi:

Nolinchi yaqinlashish sifatida

U holda Zeydel usulining keyingi yaqinlashishi quyidagicha bo’ladi:
;
k=2 bo’lganda

(15.2.4) sistema noma’lumlarining qiymatlari quyidagi jadvalda keltirilgan:


Jadval 2.1

K
0	1,2000	1,3000	1,4000
1	0,9300	0,9740	1,0192
2	1,0006	0,9979	1,0002
3	1,0001	0,9999	0,9999
4	1,0000	1,0000	0,9999
5	1,0000	1,0000	1,0000
6	1,0000	1,0000	1,0000

Bu yerda sistemaning haqiqiy yechimi quyidagichadir:

Mustaqil yechish uchun misollar

1. 
   Dastlabki yaqinlashishni grafik usulda aniqlang.
   
2. 
   Yaqinlashish sharti bajarilishini tekshiring.
   
3. 
   Nyuton va iterasiya usullarini qo’llab chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasining taqribiy yechimlarini 0,001 aniqlikda hisoblang.
   

1		2
3		4
5		6
7		8
9		10
11		12
13		14
15		16
17		18
19		20
21		22
23		24
25		26