Chiziqli fazo ta`rifi


Chiziqli bog`liqlik va chiziqli erklilik



Download 0,81 Mb.
bet2/5
Sana06.02.2022
Hajmi0,81 Mb.
#432407
1   2   3   4   5
Bog'liq
Chiziqli fazo

Chiziqli bog`liqlik va chiziqli erklilik.



1
Chiziqli fazo elementlari uchun chiziqli bogʻliqlik va erklilik tushunchalariga misollar koʻramiz.

11-misol.
boʻladimi?
C[a,b]
fazoda
x et
va x2
 3et
funksiyalar chiziqli bogʻliq

Yechish. Bu vektorlarning quyidagicha chiziqli kombinatsiyasini tuzamiz va uni

nolga tenglaymiz: x
  x
 0 
et  3 et  0 , 3  
 0 .

1 1 2 2 1 2
Demak, bu funksiyalar chiziqli bogʻliq.
Xuddi shunga oʻxshab koʻrsatish mumkinki
y 1



1 2
C[a,b]
fazoda


y sin 2t ,

y cos2 t , 3
2 funksiyalar ham chiziqli bogʻliq boʻladi. Chunki
y y
 2 y  0


1
2 1 2 3

  1. ta’rif. Agar chiziqli fazo cheksiz sondagi chiziqli erkli vektorlar sistemasiga

ega boʻlsa, u holda bunday chiziqli fazoga cheksiz oʻlchovli chiziqli fazo deyiladi.

Yuqorida koʻrilgan
1, t, t2 ,...,tn
C[a,b]
fazo cheksiz oʻlchovli chiziqli fazo boʻladi, chunki
n N

funksiyalar barcha lar uchun chiziqli erkli boʻladi.

  1. ta’rif. L chiziqli fаzoning V qism toʻplamining oʻzi ham L da aniqlangan elementlarni qoʻshish va elementlarni songa koʻpaytirish amallariga nisbatan chiziqli fazo tashkil qilsa, u holda V fazo L fazoning chiziqli qism fazosi deyiladi.

12-misol. Barcha n -tartibli kvadrat matritsalar chiziqli fazosini qaraymiz. Bu
fazo uchun barcha n -tartibli diagonal matritsalar fazosi chiziqli qism fazo boʻladimi?
Yechish. Ixtiyoriy

a11
0 ... 0
  b11
0 ... 0

0 a
... 0
  0 b
... 0

D 22
D 22

1 ... ,,, ... ... 2 ... ... ... ...
0 0 ... a 0 0 ... b
nn   nn
matritsalarni qaraymiz. Maʻlumki bunda

a11 b11
0 ... 0

0 a b ... 0

D D
22 22

1 2 ... ... ... ...
0 0 ... a b
nn nn
yaʻni ikkita diagonal matritsaning yigʻindisi yana diagonal matritsa boʻladi. Endi diagonal matritsaning songa koʻpaytmasini tekshiramiz:



a11
0 ... 0
a11
0 ... 0

D    0
a22
... 0
 

0

a22
... 0



1 ... ,,, ... ... ... ... ... ...
0 0 ... a 0 0 ... a
nn   nn
yaʻni diagonal matritsani songa koʻpaytirsak yana diagonal matritsa hosil boʻladi. Bundan tashqari bizga maʻlumki, n tartibli matritsalar uchun chiziqli fazo uchun oʻrinli boʻlgan yuqoridagi 8 ta aksioma bajariladi. Demak, n -tartibli diagonal matritsalar toʻplami n tartibli matritsalar fazosining chiziqli qism fazosini tashkil

qiladi. Endi biz oldingi mavzuda Rn
arifmetik fazo uchun kiritilgan ckalyar

koʻpaytma tushunchasini chiziqli fazo uchun umumlashtiramiz.

  1. ta’rif. L chiziqli fazoning har bir x va y vektorlar juftligiga biror qoida

bilan haqiqiy son x, y
1) x, y y, x ;
mos qoʻyilgan boʻlib, bu moslik uchun quyidagi shartlar:

2) x y, z x, z y, z ;
3) x, y x, y.

4) x, x 0 , ixtiyoriy x L
bajarilsa, u holda x, y
deyiladi.
uchun x, x 0 x ;
son x va y vektorlarning skalyar koʻpaytmasi

  1. ta’rif. Agar chiziqli fazo elementlari orasida skаlyar koʻpаytmа aniqlangan

boʻlsa, bu fazo Yevklid fаzosi dеyilаdi va
En koʻrinishda belgilanadi.

Har qanday n oʻlchovli haqiqiy arifmetik fazoda skаlyar koʻpаytmаni aniqlash orqali uni Yevklid fаzosigа aylantirish mumkin.


  1. ta’rif. Yevklid fаzosidаn olingan x vеktor uchun quyidagicha

aniqlangan songa x vektorning normаsi (uzunligi) dеb аytilаdi: Vеktorning uzunligi uchun quyidаgi хossаlаr oʻrinlidir:



    1. barcha

x L elementlar uchun.


2.
3. (x, y) 
4.
, bundа R ;
x y (Koshi-Bunyakovskiy tеngsizligi); (uchburchаk tеngsizligi).




  1. ta’rif. Agar

x, y En
elementlar uchun (x, y) 0
boʻlsa u holda x va y

elementlar ortogonal vektorlar deyiladi.

  1. ta’rif. Noldan farqli

a ,a ,..., a
En
elementlardan tashkil topgan vektorlar


1 2

n
sistemasidagi vektorlarning har qanday ikki jufti oʻzaro ortogonal boʻlsa, u holda bu sistema ortogonal vektorlar sistemasi deb ataladi.
a ,a ,...,a En

  1. ta’rif. Agar 1 2 n ortogonal vektorlar sistemasi boʻlib

ai 1 i 1,2,...,n
blsa, u holda a1,a2 ,a3,...,an

vektorlar sistemasi ortonormal



vektorlar sistemasi deyiladi.
e ,e ,e ,...,e En n

  1. ta’rif. Agar

1 2 3 n
vektorlar sistemasi
E fazoning bazisi

boʻlib, ortonormal vektorlar sistemasini tashkil qilsa, u holda bu bazisga ortonormal bazis deyiladi.
e ,e ,e ,...,e En

Ortonormallangan oʻrinli:
1 2 3 n
bazis uchun quyidagi munosabat

ei ,ek
1, agar i k bo 'lsa


0, agar i k bo 'lsa


a ,a ,...,a En

  1. teorema. (Pifagor teoremasining umumlashmasi) Agar 1 2 n

vektorlar sistemasi juft-jufti bilan ortogonal boʻlsa, u holda quyidagi munosabat oʻrinli

a ,a ,...,a En

  1. teorema. Agar 1 2 n vektorlar noldan farqli va juft-jufti bilan

orthogonal boʻlsa u holda bu vektorlar chiziqli erkli boʻladi.
Isbot. Bu vektorlarning chiziqli kombinatsiyasini tuzib uni nolga tenglaymiz
1a1 2 a2 ... n an 0

Bu tenglikning ikkala tomonini
a1 ga skalyar koʻpaytiramiz:

1(a1,a1) 2(a2 , a1) ... n(an , a1) 0

Teorema shartiga koʻra


(a1,a1)  0, (a1, ai )  0i  2,3,..., n
2

boʻlgani uchun



oxirgi tenglikdan
1(a1,a1) 1 a1
 0,
ga ega boʻlamiz. Bundan
1  0
ekani kelib

chiqadi. Xuddi shunga oʻxshab
2  3  ...  n  0
ekanligi isbotlanadi. Demak

a1, a2 ,...,ak En chiziqli erkli vektorlar sistemasini tashkil qiladi. Teorema isbotlandi.

  1. teorema. Har qanday n oʻlchovli haqiqiy Yevklid fazosida ortonormallangan bazis mavjud.



Isbot. Faraz qilaylik
e1,e2 ,e3,...,en En

vektorlar sistemasi


En fazoning

ortonormall boʻlmagan bazislaridan biri boʻlsin. Biz bu bazisdan ortonormallangan bazisni quramiz. Buning uchun Shmidt formulalaridan foydalanamiz:


    1. e e1, deb olib keyingi qadamda

t 1 ei et



    1. et et

i 1
ei ei
ei ,


t  2, 3, ..., k

Teorema isbotlandi.

13-misol.
R3 fazoda berilgan
a 1(1, 1, 1) ,
a2 (0, 1, 1) ,
a3 (0, 0, 1)
vektorlar

sistemasidan ortonormallangan bazis quring.

Yechish. Birinchi navbatda sistemasining rangini aniqlab olamiz
a 1(1, 1, 1) ,


1 1 1
0 1 1  1
0 0 1
a2 (0, 1, 1) ,
a3 (0, 0, 1)
vektorlar

rang( a1,
a2 ,
a3 )  3
boʻlganligi sababli bu sistemadagi vektorlar chiziqli erkli.

Sistemani ortogonal sistemaga aylantirish uchun Shmidt formulasidan foydalanamiz:
1) b1a1 (1, 1, 1) ;

b1 , a2
2 2 1 1

2) b2 a2
b1 0, 1, 1 3 1, 1, 1 , ,

b1 , b1
3 3 3
;

b1 , a3
b2 a3

Download 0,81 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©www.hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish