Chiziqli bog`liqlik va chiziqli erklilik.
1
Chiziqli fazo elementlari uchun chiziqli bogʻliqlik va erklilik tushunchalariga misollar koʻramiz.
11-misol.
boʻladimi?
C[a,b]
fazoda
x et
va x2
3et
funksiyalar chiziqli bogʻliq
Yechish. Bu vektorlarning quyidagicha chiziqli kombinatsiyasini tuzamiz va uni
nolga tenglaymiz: x
x
0
et 3 et 0 , 3
0 .
1 1 2 2 1 2
Demak, bu funksiyalar chiziqli bogʻliq.
Xuddi shunga oʻxshab koʻrsatish mumkinki
y 1
1 2
C[a,b]
fazoda
y sin 2t ,
y cos2 t , 3
2 funksiyalar ham chiziqli bogʻliq boʻladi. Chunki
y y
2 y 0
1
2 1 2 3
ta’rif. Agar chiziqli fazo cheksiz sondagi chiziqli erkli vektorlar sistemasiga
ega boʻlsa, u holda bunday chiziqli fazoga cheksiz oʻlchovli chiziqli fazo deyiladi.
Yuqorida koʻrilgan
1 , t, t2 ,...,tn
C[ a, b]
fazo cheksiz oʻlchovli chiziqli fazo boʻladi, chunki
n N
funksiyalar barcha lar uchun chiziqli erkli boʻladi.
ta’rif. L chiziqli fаzoning V qism toʻplamining oʻzi ham L da aniqlangan elementlarni qoʻshish va elementlarni songa koʻpaytirish amallariga nisbatan chiziqli fazo tashkil qilsa, u holda V fazo L fazoning chiziqli qism fazosi deyiladi.
12-misol. Barcha n -tartibli kvadrat matritsalar chiziqli fazosini qaraymiz. Bu
fazo uchun barcha n -tartibli diagonal matritsalar fazosi chiziqli qism fazo boʻladimi?
Yechish. Ixtiyoriy
a11
0 ... 0
b11
0 ... 0
0 a
... 0
0 b
... 0
D 22
D 22
1 ... ,,, ... ... 2 ... ... ... ...
0 0 ... a 0 0 ... b
nn nn
matritsalarni qaraymiz. Maʻlumki bunda
a11 b11
0 ... 0
0 a b ... 0
D D
22 22
1 2 ... ... ... ...
0 0 ... a b
nn nn
yaʻni ikkita diagonal matritsaning yigʻindisi yana diagonal matritsa boʻladi. Endi diagonal matritsaning songa koʻpaytmasini tekshiramiz:
a11
0 ... 0
a11
0 ... 0
D 0
a22
... 0
0
a22
... 0
1 ... ,,, ... ... ... ... ... ...
0 0 ... a 0 0 ... a
nn nn
yaʻni diagonal matritsani songa koʻpaytirsak yana diagonal matritsa hosil boʻladi. Bundan tashqari bizga maʻlumki, n tartibli matritsalar uchun chiziqli fazo uchun oʻrinli boʻlgan yuqoridagi 8 ta aksioma bajariladi. Demak, n -tartibli diagonal matritsalar toʻplami n tartibli matritsalar fazosining chiziqli qism fazosini tashkil
koʻpaytma tushunchasini chiziqli fazo uchun umumlashtiramiz.
ta’rif. L chiziqli fazoning har bir x va y vektorlar juftligiga biror qoida
bilan haqiqiy son x, y
1) x, y y, x ;
mos qoʻyilgan boʻlib, bu moslik uchun quyidagi shartlar:
2) x y, z x, z y, z ;
3) x, y x, y .
4) x, x 0 , ixtiyoriy x L
bajarilsa, u holda x, y
deyiladi.
uchun x, x 0 x ;
son x va y vektorlarning skalyar koʻpaytmasi
ta’rif. Agar chiziqli fazo elementlari orasida skаlyar koʻpаytmа aniqlangan
boʻlsa, bu fazo Yevklid fаzosi dеyilаdi va
En koʻrinishda belgilanadi.
Har qanday n oʻlchovli haqiqiy arifmetik fazoda skаlyar koʻpаytmаni aniqlash orqali uni Yevklid fаzosigа aylantirish mumkin.
ta’rif. Yevklid fаzosidаn olingan x vеktor uchun quyidagicha
aniqlangan songa x vektorning normаsi ( uzunligi) dеb аytilаdi: Vеktorning uzunligi uchun quyidаgi хossаlаr oʻrinlidir:
barcha
x L elementlar uchun.
2.
3. (x, y)
4.
, bundа R ;
x y (Koshi-Bunyakovskiy tеngsizligi); (uchburchаk tеngsizligi).
ta’rif. Agar
x, y En
elementlar uchun (x, y) 0
boʻlsa u holda x va y
elementlar ortogonal vektorlar deyiladi.
ta’rif. Noldan farqli
a , a ,..., a
En
elementlardan tashkil topgan vektorlar
1 2
n
sistemasidagi vektorlarning har qanday ikki jufti oʻzaro ortogonal boʻlsa, u holda bu sistema ortogonal vektorlar sistemasi deb ataladi.
a , a ,..., a En
ta’rif. Agar 1 2 n ortogonal vektorlar sistemasi boʻlib
ai 1 i 1,2,..., n
boʻlsa, u holda a1 ,a2 ,a3 ,...,an
vektorlar sistemasi ortonormal
vektorlar sistemasi deyiladi.
e ,e ,e ,...,e En n
ta’rif. Agar
1 2 3 n
vektorlar sistemasi
E fazoning bazisi
Ortonormallangan oʻrinli:
1 2 3 n
bazis uchun quyidagi munosabat
ei ,ek
1, agar i k bo 'lsa
0, agar i k bo 'lsa
a ,a ,...,a En
teorema. (Pifagor teoremasining umumlashmasi) Agar 1 2 n
vektorlar sistemasi juft-jufti bilan ortogonal boʻlsa, u holda quyidagi munosabat oʻrinli
a , a ,..., a En
teorema. Agar 1 2 n vektorlar noldan farqli va juft-jufti bilan
orthogonal boʻlsa u holda bu vektorlar chiziqli erkli boʻladi.
Isbot. Bu vektorlarning chiziqli kombinatsiyasini tuzib uni nolga tenglaymiz
1a1 2 a2 ... n an 0
1(a1,a1) 2(a2 , a1) ... n(an , a1) 0
Teorema shartiga koʻra
( a1, a1) 0, ( a1, ai ) 0 i 2,3,..., n
2
boʻlgani uchun
oxirgi tenglikdan
1(a1,a1) 1 a1
0,
ga ega boʻlamiz. Bundan
1 0
ekani kelib
chiqadi. Xuddi shunga oʻxshab
2 3 ... n 0
ekanligi isbotlanadi. Demak
a1, a2 ,...,ak En chiziqli erkli vektorlar sistemasini tashkil qiladi. Teorema isbotlandi.
teorema. Har qanday n oʻlchovli haqiqiy Yevklid fazosida ortonormallangan bazis mavjud.
Isbot. Faraz qilaylik
e1 ,e2 ,e3 ,...,en En
vektorlar sistemasi
En fazoning
ortonormall boʻlmagan bazislaridan biri boʻlsin. Biz bu bazisdan ortonormallangan bazisni quramiz. Buning uchun Shmidt formulalaridan foydalanamiz:
e e1, deb olib keyingi qadamda
t 1 ei et
et et
i 1
ei ei
ei ,
t 2, 3, ..., k
Teorema isbotlandi.
13-misol.
R3 fazoda berilgan
a 1(1, 1, 1) ,
a2 (0, 1, 1) ,
a3 (0, 0, 1)
vektorlar
sistemasidan ortonormallangan bazis quring.
Yechish. Birinchi navbatda sistemasining rangini aniqlab olamiz
a 1(1, 1, 1) ,
1 1 1
0 1 1 1
0 0 1
a2 (0, 1, 1) ,
a3 (0, 0, 1)
vektorlar
rang( a1,
a2 ,
a3 ) 3
boʻlganligi sababli bu sistemadagi vektorlar chiziqli erkli.
Sistemani ortogonal sistemaga aylantirish uchun Shmidt formulasidan foydalanamiz:
1) b1 a1 (1, 1, 1) ;
b1 , a2
2 2 1 1
2) b2 a2
b1 0, 1, 1 3 1, 1, 1 , ,
b1 , b1
3 3 3
;
b1 , a3
b2 a3
Do'stlaringiz bilan baham: |