Chiziqli tenglamalar sistemasi va ularni yechish usullari. Kronekker-Kapelli teoremasi. Kramer qoidasi mavzusiga doir mashqlar yechish

А) Mashqlar yechish uchun kerak bo’ladigan formulalar
Uch noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasi.


B) Mashqlar yechish bo’yicha namunalar
1-misol.

sistema matritsa usulida yechilsin.
Yechish. Bu misolda
А= , В= , Х=
bo’lgani uchun berilgan sistemani АХ=В matritsali ko’rinishda va yechimini Х=А^-1В ko’rinishda yozish mumkin. A matritsaning determinanti 1-satr elementlarini 2 ga ko’paytirib 2-satrning mos elementlariga qo’shamiz va hosil bo’lgan determinantni ikkinchi satr elemenlari bo’yicha yoyib hisoblaymiz.

bo’lgani uchun А xosmas matritsa va unga teskari А^-1 matritsa mavjud. А matritsaning barcha elementlarini algebraik to’ldiruvchilarini topamiz:
А₁₁=(-1)¹⁺¹ =-2, А₁₂=(-1)¹⁺² =-3, А₁₃=(-1)¹⁺³ =-4,
А₂₁=(-1)²⁺¹ =-1, А₂₂=(-1)²⁺² =-9, А₂₃=(-1)²⁺³ =-7,
А₃₁=(-1)³⁺¹ =0, А₃₂=(-1)³⁺² =5, А₃₃=(-1)³⁺³ =5.
Algebraik to’ldiruvchilarning qiymatlaridan foydalanib А^-1 teskari matritsani topamiz:
А^-1= .
Х, А^-1 va В matritsalarni Х=А^-1В tenglikga qo’yamiz. U holda
= = = = .
hosil bo’ladi. Bundan х=1, у=2, z=3 yechimni hosil qilamiz.

2-misol.
sistema Gauss usuli bilan yechilsin.
Yechish. 1-qadam. Birinchi va ikkinchi tenglamalarni o’rin almashtirib birinchi tenglamadagi x oldidagi koeffitsientni 1 ga keltiramiz:

a) bu sistemaning birinchi tenglamasini –3 ga ko’paytirib ikkinchi tenglamasiga qo’shamiz:

b) sistemaning birinchi tenglamasini –5 ga ko’paytirib uchinchi tenglamasiga qo’shsak

hosil bo’ladi. Shunday qilib sistema

ko’rinishga ega bo’ladi.
2-qadam. Sistemaning ikkinchi tenglamasini –1 ga ko’paytirib uchinchisiga qo’shsak uchinchi tenglamasidagi yo’qotilishi lozim bo’lgan у bilan bir qatorda z noma‘lum ham yo’qolib ketadi, ya‘ni.

hosil bo’ladi.
Shunday qilib Gauss usuliga binoan sistema birgalikda emas, ya‘ni yechimga ega emas ekan.