Дифференциал (математика)

Реферат на тему:

Дифференциал (математика)

План:

Введение

• 
  1 Обозначения
  
• 
  2 Неформальное описание
  
• 
  3 Определения
  
  • 
    3.1 Для вещественнозначных функций
    
  • 
    3.2 Для отображений
    
• 
  4 Связанные определения
  
• 
  5 Свойства
  
• 
  6 Примеры
  
• 
  7 История
  

Введение

Дифференциа́л (от лат. differentia — разность, различие) в математике — линейная часть приращения дифференцируемой функции или отображения. Это понятие тесно связано с понятием производной по направлению.

1. Обозначения

Обычно дифференциал f обозначается df. Некоторые авторы предпочитают обозначать шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором. Дифференциал в точке x обозначается d_xf, а иногда df_x или df[x]. (d_xf есть линейная функция на касательном пространстве в точке x.) Если v есть касательный вектор в точке x, то значение дифференциала на v обычно обозначается df(v), в этом обозначении x излишне, но обозначения d_xf(v), df_x(v) и df[x](v) также правомерны.

2. Неформальное описание

Рассмотрим гладкую функцию f(x). Проведём касательную к ней в точке x, и отложим на этой касательной отрезок такой длины, чтобы его проекция на ось x была равна Δx. Проекция этого отрезка на ось y называется дифференциалом функции f(x) в точке x от Δx.
Таким образом, дифференциал может пониматься как функция двух переменных x и Δx,

определяемой соотношением

d_xf(Δx) = f'(x)Δx.

3. Определения

3.1. Для вещественнозначных функций

Пусть M — гладкое многообразие и гладкая функция. Дифференциал f представляет из себя 1-форму на M, обычно обозначается df и определяется соотношением

df(X) = Xf,

где Xf обозначает производную f по направлению векторного поля X в касательного расслоения M.

3.2. Для отображений

Дифференциал гладкого отображения из гладкого многообразия в многообразие есть отображение между их касательными расслоениями, , такое что для любой гладкой функции имеем

где Xf обозначает производную f по направлению X. (В левой части равенства берётся производная в N функции g по dF(X); в правой — в M функции по X).
Это понятие естественным образом обобщает понятие дифференциала функции.

4. Связанные определения

• 
  Гладкое отображение называется субмерсией, если для любой точки , дифференциал сюръективен.
  
• 
  Гладкое отображение называется гладким погружением, если для любой точки , дифференциал инъективен.
  

5. Свойства

• 
  Дифференциал композиции равен композиции дифференциалов:
  
  или

6. Примеры

• 
  Пусть в открытом множестве задана гладкая функция . Тогда , где f' обозначает производную f, а dx является постоянной формой, определяемой dx(V) = V.
  
• 
  Пусть в открытом множестве задана гладкая функция . Тогда . Форма dx_i может быть определена соотношением dx_i(V) = v_i, для вектора .
  
• 
  Пусть в открытом множестве задано гладкое отображение . Тогда
  
  d_xF(v) = J(x)v,

где J(x) есть матрица Якоби отображения F в точке x.

7. История

Термин «дифференциал» введён Лейбницем. Изначально, dx применялось для обозначения «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики (за исключением нестандартного анализа).