Dinamik sistemalar nazariyasiga doir asosiy tushunchalar dinamik sistemalarga misollar

DINAMIK SISTEMALAR NAZARIYASIGA DOIR ASOSIY TUSHUNCHALAR


DINAMIK SISTEMALARGA MISOLLAR

Avval dinamik tizimlarga bir nechta oddiy misollar keltiraylik. Birinchidan, dinamik sistema o’zi nima? Javob juda oddiy: injinerlik kalkulyatorini olib, istalgan raqamni kiriting va keyin funktsional tugmachalardan birini qayta-qayta bosishni boshlang. Ushbu iterative (takroriy) jarayon diskret dinamik sistemaning namunasidir. Masalan, agar biz biror qiymatni olib, kalkulyatorda “exp” tugmasisni bosib boraversak, ushbu

sonlarni hisoblab borayotgan bo’lamiz. Ya'ni, biz eksponensial funktsiyaning iteratsiyasini (o’zini o’ziga qayta ta’sirini) aniqlayapmiz. Agar bu jarayonni qayta-qayta bajarib boraversak, boshlang'ich ning har qanday tanlashida ham hosil bo’ladigan sonlar kalkulyatorga sig’may qoladi, ya’ni ning ketma-ket iteratsiyalari ga intiladi. Umumiy holda, berilgan funktsiya va boshlang’ich qiymat uchun ushbu

iteratsiyalar ketma-ketligi natijasida nima sodir bo'ladi?
Dinamik sistemalarning funksiya iteratsiyalidan boshqa ko’plab turlari mavjud. Masalan, differentsial tenglamalar diskret dinamik sistemalardan farqli ravishda uzluksiz dinamik sistemadir. Diskret dinamik sistemalarning tabiati o’rganilgandan so’ng uzluksiz turdagi sistemalarni tushunish ancha oson bo’ladi.
Shu bilan birga, dinamik sistemalarni amaliy masalalarda ham uchratish mumkin. Dinamik sistemalar fizikadagi klassik mexanikaning differensial tenglamalaridan matematik iqtisodiyot va biologiyaning turli tenglamalariga qadar fanning barcha sohalarida uchraydi.
Populyatsiya biologiyasidan oddiy misol keltiramiz. Populyatsion biologlar uchun ma'lum bir tur holatini yoki turlar to'plamidagi populyatsiyasining uzoq muddatdan keyingi holati qiziq hisoblanadi. Kuzatilgan yoki eksperimental ravishda aniqlangan parametrlarni (yirtqichlarning soni, oziq-ovqat mavjudligi va boshqalar) hisobga olgan holda, biolog populyatsiyaning tebranishlarini tavsiflovchi matematik modelni tuzadi. Bu model -- populyatsiyaning diskret yoki uzliksiz o’zgarishi, yoki populyatsiyaning bir yilda bir yoki bir avlod hisoblanishiga qarab differensial tenglama yoki turli tenglamalar ko'rinishida bo'lishi mumkin. Ikkala holatda ham populyatsiya biologiya -- a’zolarining dastlabki soni bo’lsa, kelajakda qancha bo’lishi bilan qiziqadi. Vaqt o’tishi bilan populyatsiya nolga tushib, turlarning yo’q bo'lib ketishiga olib keladimi? Populyatsiya tez suratda ko’payadimi va bu haddan tashqari ko’payib ketishini anglatadimi? Yoki populyatsiya vaqti-vaqti bilan yoki hatto tasodifiy ravishda o’zgarib turadimi? Shunday qilib populyatsion biolog oldida turgan muammo odatdagi dinamik sistemalardagi savolidir: dastlabki berilgan asosida populyatsiyaning uzoq keljakdagi holatini taxmin qilish mumkinmi?
Boshlang’ich hisoblash kurslarida bir nechta oddiy biologik modellar uchraydi. Masalan, ekspansional o'sish yoki parchalanishning differentsial tenglamasini birinchi tartibli differentsial tenglama kursida uchratish mumkin. Ushbu modelda bitta tur populyatsiyasi berilgan vaqtda mavjud populyatsiyaga to'g'ri proporsional ravishda o’sib boradi deb taxmin qilamiz. Bu, shubhasiz,juda sodda model, chunki u keskin ko’payib ketish, o'lim darajasi va hokazolarni hisobga olmaydi, ammo bu model juda oson yechiladigan oddiy differentsial tenglamani hosil qiladi. Agar orqali vaqtdagi populyatsiya sonini belgilasak, u holda yuqoridagi farazlarga ko’ra ushbu
,
oddiy chiziqli differensial tenglamani hosil qilamiz va uning yechimi , bo’ladi, bu yerda -- turning dastlabki populyatsiyasi. Demak, agar proporsionalllik koeffisienti musbat bo'lsa, u holda da bo'lib, populyatsiya haddan tashqari ko’payib ketishiga olib keladi. Agar bo’lsa, u holda da bo'lib, turning yo’qolib ketishiga olib keladi.
Ushbu protsedura dinamik sistemaning fanda oddiy (juda oddiy vaziyatda) qo’llanihini ko’rsatadi. Populyatsion biolog matematik modelni yaratadi, unga ko’ra matematikdan esa yechimlarning uzoq muddatli tabiati haqida ba’zi tushunchalar berish so’raladi.
Ushbu oddiy modelni turli xil tenglamalar sifatida ham o'rganish mumkin. deb olaylik, bu erda natural son. Oddiy o’sish qonunida keyingi avlod populyatsiyasi hozirgi avloddagi populyatsiyag to’g’ri proporsional deb tasavvur qilish mumkin, ya’ni , bu yerda o’zgarmas son. U holda

Shunday qilib, aholining yakuniy taqdiri haqida osongina qaror qabul qilish mumkin.
Keyinchalik foydalanish uchun ushbu turli xil tenglamalarni funksiya sifatida tushuntiramiz. bo’lsin va funksiyani qaraymiz. Yuqoridagi hisoblashda Demak, populyatsiyaning yakuniy holati funksiya iteratsiyasining asimptotik holati bilan bog'liq ekan.