Dirichle Printsipi Quyidagi vazifani ko'rib chiqing. Vazifa 1

Vazifa 5.Uyda 40 talaba yashaydi. Yilning kamida 4 talabasi tug'ilgan kunini nishonlaydigan bunday oy bormi?
Qaror."Qutilar" oylar, "narsalar" esa talabalar bo'lsin. Tug'ilgan oyga qarab "qutilar" ga "narsalar" ni tarqatamiz. Oylar soni, ya'ni qutilar soni 12 va talabalar soni, ya'ni 40 ta element = 12·3+4. Dirichle printsipiga ko'ra, kamida 3+1=4 ta element (talabalar) bo'lgan quti (oy) mavjud.
Vazifa 6.Mnbutun sonlardan tashkil topgan to'plam bo'lsin.M₁to'plaminingm такое, что сумма элементов множества 1 to'plamining elementlari yig'indisi_{n ga bo'linishini isbotlash uchun} делилась бы на n.
Qaror.M= {a₁,a₂,...,a_n}. Quyidagi miqdorlarni ko'rib chiqing

S1 = a1,

S2 = a1 + a2,

...

Sn = a1 + a2 + ... + an.

Agar raqamlardan biriS_k(k= 1,...,n)nga bo'linmaydi, keyinnga bo'linadigan qoldiqlar 1,2,...,n - 1.nN van-1 qoldiqlari mavjud bo'lganligi sababli, kamida ikkita summa n ga bo'linishning bir xil qoldig'ini beradin.S_kvas_m(1 ≤k<m≤n) ikkita bo'lsin. KeyinS_m-S_knga bo'linadi va kerakli to'plam {a_k+1, ... ,a_m}.
Vazifa 7.N+1 dan 2 n dan kichik bo'lgan turli xil natural sonlardannbitta raqam qolgan ikkitasining yig'indisiga teng bo'lishi uchun 3 sonni tanlashingiz mumkinligini isbotlang.
Qaror.a₁<a₂< ga ruxsat bering ... <a_{n+ 1}-berilgan raqamlar. Farqni ko'rib chiqing

a2 - a1,

a3 - a1,

...

an+1 - a1.

Ushbu raqamlar har xil, ijobiy va 2n dan kichikroq. Dirichle printsipiga ko'ra, kamida ikkita raqam bir xil. Bundan tashqari, ushbu raqamlardan biri {a₂-a₁,... ,a_n+1 - a₁}. Bua_kvaa_m-a_{1 raqamlari bo'lsin}. Shuninguchun a_k=a_m-a₁va shuninguchun a_m=a_k+a₁.
Vazifa 8.Ruxsata₁,a₂, ....a_n-raqamlarni o'zgartirish 1,2,3,...,n. Mahsulot (a₁- 1)(a₂- 2) ekanligini isbotlang...(a_n-n), agarn- g'alati bo'lsa, juft bo'ladi.
Qaror.N= 2k+ 1 ga ruxsat bering. Ko'rib chiqilgan sonlar to'plamidak+ 1 raqamlari g'alati bo'ladi. Dastlabki mahsulotda (k+ 1) + (k+ 1) = 2(k+ 1) =n+ 1 toq sonlar bo'ladi. Mahsulotn omillaridan iborat bo'lganligi sababli, ulardan bittasi (hech bo'lmaganda) faqat toq sonlarni o'z ichiga oladi (va kamaytirilgan va olib tashlangan raqamlar toq bo'ladi). Shunday qilib, bu omil teng bo'ladi va mahsulot ham teng bo'ladi.