E. M. Colocassides College of Tourism & Hotel Management, Doctor of Science in

Keywords: 
linear space, orthogonal system, orthonormal system, Gram 
determinant, linear dependence and linear non-linearity 
 
Маълумки, талабалар бакалавриятда ўқиш даврида берилган функциялар 
системаларини чизиқли боғлиқлиги ёки чизиқли боғлиқмаслигини ўрганиш 
масалаларига дуч келишади. Турли усуллар ёрдамида уни аниқлашади.
Шу усуллар қатори бу масалани ўрганишнинг анча осон бўлган 
усулларидан бири Грамм детерминанти ҳисобланади. Лекин, бу мавзу 
бакалавриятнинг умумий курсларида ўтилмайди. Ушбуни инобатга олиб, 
мақолада Грамм детерминантидан фойдаланиб, функциялар системаларини 
чизиқли боғлиқлиги ёки боғлиқмаслигини аниқлаш усули кўрсатилган ва шунга 
доир бир нечта мисолларнинг ечимлари келтирилган. 
Энг аввло функционал анализнинг умумий курсидан маълум чизиқли фазо, 
ортогонал ва ортонормал системалар ҳақида қисқача маълумотлар келтирамиз. 
Бизга 
𝑉
тўплам берилган бўлсин. Унинг элементлари кичкина лотин 
алифбоси ҳарфлари 
𝑎, 𝑏, 𝑐 … .
билан белгиланади. 
𝑉
тўпламда ундаги 
𝑎, 𝑏
"Science and Education" Scientific Journal / ISSN 2181-0842
December 2021 / Volume 2 Issue 12
www.openscience.uz
11

---

элементларнинг ҳар қандай жуфтига 
𝑉
дан олинган, бир қийматли аниқланган 
𝑎 + 𝑏
элементни мос қўювчи ва 
𝑎, 𝑏
ларнинг йиғиндиси деб аталган қўшиш 
амали ва ҳақиқий сонга кўпайтириш амали аниқланган бўлсин. Шу билан бирга 
𝑎
элементнинг 
𝛼
сонга кўпайтмаси 
𝛼𝑎
бир қайматли аниқланган ва 
𝑉
га 
тегишлидир. 
Агар кўрсатилган амаллар қуйидаги хоссаларга эга бўлсалар, 
𝑉
тўплам 
элементлари векторлар деб, 
𝑉
нинг ўзи эса ҳақиқий чизиқли (ёки вектор, ёки 
аффин) фазо дейилади: 
I. 
Қўшиш коммутатив, 
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎
.
 
II. 
Қўшиш ассоциатив, 
(𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐).
III. 
𝑉
да ундаги барча 
𝑎
лар учун 
𝑎 + 0 = 𝑎
шартни қаноатлантирадиган 
0
элемент мавжуд. 
IV. 
𝑉
да ҳар қандай 
𝑎
элемент учун 
𝑎 + (−𝑎) = 0
шартни қаноатлантирадиган 
− 𝑎
қарама-қарши элемент мавжуд.
 
V. 
𝛼(𝑎 + 𝑏) = 𝛼𝑎 + 𝛼𝑏
. 
VI. 
(𝛼 + 𝛽)𝑎 = 𝛼𝑎 + 𝛽𝑎
. 
VII. 
(𝛼)𝑎 = 𝛼(𝑎)
. 
VIII. 
1 ∙ 𝑎 = 𝑎
. 
Таъриф 1.
 
Скаляр кўпайтма киритилган ҳар қандай чизиқли фазога 
Гильбертолди фазоси дейилади. 
Айтайлик R - Гильбертолди фазоси бўлсин. 
Таъриф 2.
 
Агар 
𝑥 ∈ 𝑅
ва 
𝑦 ∈ 𝑅
элементлар учун 
(𝑥, 𝑦) = 0
тенглик 
бажарилса, у ҳолда x ва y элементлар ортогонал дейилади