E. M. Colocassides College of Tourism & Hotel Management, Doctor of Science in

 
ва 
x ⊥ y
каби 
белгиланади.
 
Таъриф 3.
 
Агар 
𝑅
фазонинг 
{
𝑥
𝛼
}, 
𝑥 ∈ 𝑅
(
𝐴 −
индексларнинг бирор 
тўплами) элементлари тўплами берилган бўлиб, ундаги ихтиёрий 2 та 
элементлар ўзаро ортогонал бўлса, 
{
𝑥
𝛼
}
система ортогонал система дейилади. 
Ундан ташқари ҳар бир элементнинг нормаси 1 га тенг, яъни 
x

= 1,

∈ А,
бўлса. Унда {
𝑥
𝛼
}-ортонормал система деб аталади. 
Агар 
{𝑥
𝛼
,

∈ 𝐴}
система ортогонал ва барча 

∈ А
 
лар учун 
𝑥

≠ 0
бўлса, унда бу системани «нормаллаштириш»
 
мумкин.
Хақиқатан ҳам берилган системанинг ҳар бир элементини унинг нормасига 
бўлиш ёрдамида янги ортонормалланган 
{
𝑥
𝑎
‖𝑥
𝑎
‖
, 𝛼 ∈ А}
cистемани ҳосил қиламиз. 
Лемма 1.
 
Агар R фазонинг 
{x
α
,

∈ А}
(
A −
индексларнинг бирор тўплами) 
элементлар системаси ортогонал бўлиб, барча 

∈ A
лар учун
x
α
≠ 0
бўлса, у 
ҳолда бу система чизиқли эркли система бўлади. 
Фараз қилайлик, баъзи
"Science and Education" Scientific Journal / ISSN 2181-0842
December 2021 / Volume 2 Issue 12
www.openscience.uz
12

---

𝑥
𝛼
𝑘
, 𝛼
𝑘
∈ 𝐴, 𝑘 = 1,2, … 𝑛
 
элементлар учун
𝜆
1
𝑥
𝛼
1
+ 𝜆
2
𝑥
𝛼
2
+ ⋯ + 𝜆
𝑛
𝑥
𝛼
𝑛
= 0
тенглик бажарилсин. Фиксирланган 
𝑘
 
учун 
(𝑘 
=
1,2, . . . , 𝑛)
тенгликнинг 
иккала томонини 
𝑥
𝛼
𝑘
га скаляр кўпайтириб,
(𝜆
𝑘
𝑥
𝛼
𝑘
, 𝑥
𝛼
𝑘
) = 0 (1)
бўлишини топамиз, чунки системанинг ортогоналлик шартига кўра 
𝑗 ≠ 𝑘
 
да 
(
𝑥
𝛼
𝑗
, 𝑥
𝛼
𝑘
) = 0
. Шартга кўра, 
𝑥
𝛼
𝑘
≠ 0
бўлгани учун (
𝑥
𝛼
𝑗
, 𝑥
𝛼
𝑘
) ≠ 0
ва (1) 
тенгликка кўра 
𝜆
𝑘
= 0, 𝑘 
=
1,2, . . . , 𝑛.
Бу эса берилган 
{𝑥
𝛼
,

∈ 𝐴
} системанинг 
чизиқли эркли эканлигини билдиради. 
Лемма 2.
 
Агар 
R
фазонинг,
x
1
, … x
n
элементлари системаси учун ушбу 
𝐺(𝑥
1
, … 𝑥
𝑛
) = |
(𝑥
1
, 𝑥
1
) (𝑥
1
, 𝑥
2
) … (𝑥
1
, 𝑥
𝑛
) 
(𝑥
2
, 𝑥
1
) (𝑥
2
, 𝑥
2
) … (𝑥
2
, 𝑥
𝑛
)
… … … … … … … … … … …
(𝑥
𝑛
, 𝑥
1
) (𝑥
𝑛
, 𝑥
2
) … (𝑥
𝑛
, 𝑥
𝑛
)
| 
(2)
 
детерминантнинг қиймати 
0
га тенг бўлса, унда берилган система чизиқли 
боғлиқ бўлади. 
𝐺(𝑥
1
, … 𝑥
𝑛
)
детерминантга берилган системанинг Грамм детерминанти 
дейилади. 
Исбот.
 
𝑛
 
та 

𝑖
, 𝑖 = 1,2, … 𝑛
, номаълумли 
𝑛
 
та чизиқли тенгламалар 
системасини қараймиз:
 
(

1
𝑥
1
+ ⋯

𝑛
𝑥
𝑛
, 𝑥
𝑖
) = 0, 𝑖 = 1, 𝑛
̅̅̅̅̅ (3)
Бундан

1
(𝑥
1
, 𝑥
𝑖
) +

2
(𝑥
1
, 𝑥
𝑖
)+ ⋯ +

𝑛
(𝑥
1
, 𝑥
𝑖
) = 0, 𝑖 = 1, 𝑛
̅̅̅̅̅
бўлишини топамиз. 
Бу 
системанинг 
детерминанти 
Грамм 
детерминантининг 
транспонирланганига тенг ва шартга кўра унинг қиймати 
0
га тенг. Бир жинсли 
тенгламанинг асосий детерминанти 
0
га тенг бўлгани учун (3) система тривиал 
бўлмаган ечимга эга бўлади, яъни 

1
, … 

𝑛
 
ларнинг ҳаммаси бир вақтда 
0
га 
тенг бўла олмайди. Энди (3) тенгликни 

𝑖
 
га кўпайтирамиз ва барча 
𝑖 (𝑖 
=
1, . . . , 𝑛)
лар бўйича тенгликларни қўшиб чиқамиз:
(

1
𝑥
1
+ ⋯ +

𝑛
𝑥
𝑛
,

1
𝑥
1
+ ⋯ +

𝑛
𝑥
𝑛
) = 0
. 
Бундан

1
𝑥
1
+ ⋯ +

𝑛
𝑥
𝑛
= 0.
Бу ердан ушбу тенгликни, яъни,
𝑥
1
, … 𝑥
𝑛
системанинг чизиқли боғлиқ 
эканлигини ҳосил қиламиз. 
1-мисол. Грамм детерминантидан (2) фойдаланиб, 
[0,3]
оралиқда 
𝑦
1
=
1, 𝑦
2
= 𝑥, 𝑦
3
= 𝑒
𝑥
функцияларни чизиқли боғлиқликка текширинг. 
"Science and Education" Scientific Journal / ISSN 2181-0842
December 2021 / Volume 2 Issue 12
www.openscience.uz
13

---

Ечиш.
 
Олдин берилган функциялар учун Грамм детерминантини умумий 
кўринишда ёзиб оламиз ва уларни формулага қўйиб, алмаштиришлар 
бажарамиз:
 
G(𝑦
1
, 𝑦
2
, 𝑦
3
) = |
(𝑦
1
, 𝑦
1
)
(𝑦
1
, 𝑦
2
)
(𝑦
1
, 𝑦
3
)
(𝑦
2
, 𝑦
1
) (𝑦
2
, 𝑦
2
) (𝑦
2
, 𝑦
3
)
(𝑦
3
, 𝑦
1
) (𝑦
3
, 𝑦
2
) (𝑦
3
, 𝑦
3
)
| =
 
|
|
|
∫ 1 ∙ 1𝑑𝑥
3
0
∫ 1 ∙ 𝑥𝑑𝑥
3
0
∫ 1 ∙ 𝑒
𝑥
𝑑𝑥
3
0
∫ 𝑥 ∙ 1𝑑𝑥
3
0
∫ 𝑥 ∙ 𝑥𝑑𝑥
3
0
∫ 𝑥 ∙ 𝑒
𝑥
𝑑𝑥
3
0
∫ 𝑒
𝑥
∙ 1𝑑𝑥
3
0
∫ 𝑒
𝑥
∙ 𝑥𝑑𝑥
3
0
∫ 𝑒
𝑥
∙ 𝑒
𝑥
𝑑𝑥
3
0
|
|
|
.
 
Кўриниб турибдики, бош диагоналга нисбатан симметрик жойлашган 
элементлар ўзаро тенг. Бош диагоналнинг юқорисида жойлашган 
элементларнинг қийматларини топамиз: 
∫ 𝑥𝑑𝑥 =
𝑥
2
2
|
0
3
3
0
=
9
2
; ∫ 𝑒
𝑥
𝑑𝑥 =
3
0
𝑒
𝑥
|
0
3
= 𝑒
3
− 1; 
∫ 𝑥 ∙ 𝑒
𝑥
𝑑𝑥
3
0
= (𝑥𝑒
𝑥
− 𝑒
𝑥
)|
0
3
= 2𝑒
3
+ 1.
Бош диагоналда жойлашган элементлар: 
∫ 𝑑𝑥 = 3 − 0 = 3; ∫ 𝑥
2
𝑑𝑥 =
𝑥
3
3
|
0
3
= 9; 
3
0
3
0
∫ 𝑒
2𝑥
𝑑𝑥
3
0
=
𝑒
2𝑥
2
|
0
3
=
𝑒
6
− 1
2
.
Натижаларни Грамм детерминантига қўямиз ва детерминантни 
ҳисоблаймиз: 
"Science and Education" Scientific Journal / ISSN 2181-0842
December 2021 / Volume 2 Issue 12
www.openscience.uz
14

---

G(𝑦
1
, 𝑦
2
, 𝑦
3
) =
|
|
|
∫ 𝑑𝑥
3
0
∫ 𝑥𝑑𝑥
3
0
∫ 𝑒
𝑥
𝑑𝑥
3
0
∫ 𝑥𝑑𝑥
3
0
∫ 𝑥
2
𝑑𝑥
3
0
∫ 𝑥𝑒
𝑥
𝑑𝑥
3
0
∫ 𝑒
𝑥
𝑑𝑥
3
0
∫ 𝑒
𝑥
𝑥𝑑𝑥
3
0
∫ 𝑒
2𝑥
𝑑𝑥
3
0
|
|
|
=
|
|
3
9
2
𝑒
3
− 1
9
2
9
2𝑒
3
+ 1
𝑒
3
− 1 2𝑒
3
+ 1
𝑒
6
− 1
2
|
|
 
Бундан
 
G(𝑦
1
, 𝑦
2
, 𝑦
3
) =
3𝑒
6
8
− 3𝑒
3
−
195
8
≠ 0,
демак 
𝑦
1
= 1, 𝑦
2
= 𝑥, 𝑦
3
= 𝑒
𝑥
функциялар 
[0,3]
оралиқда чизиқли боғлиқ эмас. 
2-мисол. Грамм детерминантидан фойдаланиб, 
[−2, 5]
оралиқда 
𝑦
1
=
15𝑥 + 12, 𝑦
2
= 10𝑥 + 8
функцияларни чизиқли боғлиқликка текширинг. 
Ечиш.
 
Грамм детерминантини тузиб оламиз ва ҳисоблаймиз:
 
G(𝑦
1
, 𝑦
2
) =
|
|
∫ 𝑦
1
2
𝑑𝑥
5
−2
∫ 𝑦
1
𝑦
2
𝑑𝑥
5
−2
∫ 𝑦
2
𝑦
1
𝑑𝑥
5
−2
∫ 𝑦
2
2
𝑑𝑥
5
−2
|
|
=
|
|
∫(15𝑥 + 12)
2
𝑑𝑥
5
−2
∫(15𝑥 + 12)(10𝑥 + 8)𝑑𝑥
5
−2
∫(10𝑥 + 8)(15𝑥 + 12)𝑑𝑥
5
−2
∫(10𝑥 + 8)
2
𝑑𝑥
5
−2
|
|
=
= |
14763
9842
9842
19684/3
| = 0.
G(𝑦
1
, 𝑦
2
) = 0, д
емак 
𝑦
1
= 15𝑥 + 12, 𝑦
2
= 10𝑥 + 8
функциялар 
[−2,5]
оралиқда чизиқли боғлиқ. 
3-мисол. 
𝑦
1
= 1, 𝑦
2
= 𝑠𝑖𝑛𝑥, 𝑦
3
= 𝑐𝑜𝑠𝑥, 𝑦
4
= 𝑠𝑖𝑛2𝑥, 𝑦
5
= 𝑐𝑜𝑠2𝑥, … 𝑦
2𝑛
=
𝑠𝑖𝑛 𝑛𝑥, 𝑦
2𝑛+1
= 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑥
функцияларни 
[−𝜋, 𝜋]
оралиқда чизиқли боғлиқликка 
текширинг. 
Грамм детерминантини биринчи қатори ва биринчи устунида 
𝑦
1
нинг 
қолган барча функцияларга кўпайтмаси жойлашган. Яъни, биринчи қатор ва 
биринчи устунда қуйидаги интеграллар бор: 
∫ 𝑑𝑥,
𝜋
−𝜋
∫ 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥,
𝜋
−𝜋
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥,
𝜋
−𝜋
∫ 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑑𝑥,
𝜋
−𝜋
∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥,
𝜋
−𝜋
∫ 𝑠𝑖𝑛3𝑥𝑑𝑥,
𝜋
−𝜋
 
"Science and Education" Scientific Journal / ISSN 2181-0842
December 2021 / Volume 2 Issue 12
www.openscience.uz
15

---

∫ 𝑐𝑜𝑠3𝑥𝑑𝑥,
𝜋
−𝜋
… ∫ 𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥𝑑𝑥,
𝜋
−𝜋
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥𝑑𝑥.
𝜋
−𝜋
 
Биринчи интегрални ҳисоблаймиз: 
∫ 𝑑𝑥 = 2𝜋.
𝜋
−𝜋
Қолган 
барча 
интегралларнинг 
кўриниши 
бир 
хил, 
яъни: 
∫ 𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑥 𝑑𝑥 ёки ∫ cos 𝑘𝑥 𝑑𝑥, 𝑘 ∈ 𝑁.
𝜋
−𝜋
𝜋
−𝜋
∫ cos 𝑘𝑥 𝑑𝑥 =
sin 𝑘𝑥
𝑘
|
−𝜋
𝜋
= 0; ∫ 𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑥 𝑑𝑥 =
cos 𝑘𝑥
𝑥
|
−𝜋
𝜋
= 0.
𝜋
−𝜋
𝜋
−𝜋
Биринчи қатор ва биринчи устуннинг биринчи элементидан ташқари 
барчаси нолга, биринчи элемент эса 
2𝜋
тенг. 
Бош диагоналда
∫ 𝑦
𝑖
𝜋
−𝜋
𝑦
𝑗
𝑑𝑥 = ∫ 𝑦
𝑖
2
𝜋
−𝜋
𝑑𝑥, 𝑖 = 1,2, … 𝑛,
яъни (биринчи элементдан ташқари) 
∫ cos
2
𝑘𝑥 𝑑𝑥,
𝜋
−𝜋
∫ 𝑠𝑖𝑛
2
𝑘𝑥 𝑑𝑥 
𝜋
−𝜋
каби интеграллар жойлашган. 
∫ cos
2
𝑘𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
∫(1 + cos 2𝑘𝑥
𝜋
−𝜋
𝜋
−𝜋
)𝑑𝑥 = 𝜋, 
∫ 𝑠𝑖𝑛
2
𝑘𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
𝜋
−𝜋
∫(1 − cos 2𝑘𝑥)𝑑𝑥 = 𝜋.
𝜋
−𝜋
Грамм детерминантининг қолган элементлари
∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑘
1
𝑥 ∙ sin 𝑘
2
𝑥 𝑑𝑥,
𝜋
−𝜋
∫ cos 𝑘
1
𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑘
2
𝑥 𝑑𝑥 ёки ∫ 𝑠𝑖𝑛 𝑘
1
𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑘
2
𝑥 𝑑𝑥 
𝜋
−𝜋
𝜋
−𝜋
кўринишга эга. 
𝑐𝑜𝑠 𝑘
1
𝑥 ∙ sin 𝑘
2
𝑥
тоқ функция, демак
∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑘
1
𝑥 ∙ sin 𝑘
2
𝑥 𝑑𝑥 = 0.
𝜋
−𝜋
Қолган интегралларни ҳисоблаймиз: 
"Science and Education" Scientific Journal / ISSN 2181-0842
December 2021 / Volume 2 Issue 12
www.openscience.uz
16

---

∫ cos 𝑘
1
𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑘
2
𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
𝜋
−𝜋
∫(cos(𝑘
1
𝑥 − 𝑘
2
𝑥) + cos(𝑘
1
𝑥 + 𝑘
2
𝑥))
𝜋
–𝜋
𝑑𝑥 =
1
2
∫(𝑐𝑜𝑠(𝑘
1
− 𝑘
2
)𝑥 + 𝑐𝑜s(𝑘
1
+ 𝑘
2
)𝑥)𝑑𝑥 =
𝜋
–𝜋
1
2
(
𝑠𝑖𝑛(𝑘
1
− 𝑘
2
)𝑥
𝑘
1
− 𝑘
2
+
𝑠𝑖𝑛(𝑘
1
+ 𝑘
2
)𝑥
𝑘
1
+ 𝑘
2
)|
–𝜋
𝜋
= 0,
∫ 𝑠𝑖𝑛 𝑘
1
𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑘
2
𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
𝜋
−𝜋
∫(𝑐𝑜𝑠(𝑘
1
𝑥 − 𝑘
2
𝑥) − 𝑐𝑜𝑠(𝑘
1
𝑥 + 𝑘
2
𝑥))
𝜋
–𝜋
𝑑𝑥 =
1
2
∫(𝑐𝑜𝑠(𝑘
1
− 𝑘
2
)𝑥 − 𝑐𝑜𝑠(𝑘
1
+ 𝑘
2
)𝑥)𝑑𝑥 =
𝜋
–𝜋
1
2
(
𝑠𝑖𝑛(𝑘
1
− 𝑘
2
)𝑥
𝑘
1
− 𝑘
2
−
𝑠𝑖𝑛(𝑘
1
+ 𝑘
2
)𝑥
𝑘
1
+ 𝑘
2
)|
–𝜋
𝜋
= 0.
Грамм детерминантининг бош диагоналида жойлашган элементларидан 
ташқари барча элементлари нолга тенг экан. Бош диагоналнинг биринчи 
элементи 
2𝜋
, қолган элементлари
𝜋
га тенг. 
G(𝑦
1
, 𝑦
2
, … 𝑦
𝑛
) =
|
|
2𝜋
0 0 … 0 0
0
𝜋
0 … 0 0
0
0 𝜋 … 0 0
… …
… … … …
0
0 0 … 𝜋
0
0
0 0 … 0 𝜋
|
|
= 2𝜋
𝑛+1
.
Демак, 
G(𝑦
1
, 𝑦
2
, … 𝑦
𝑛
) = 2𝜋
𝑛+1
≠ 0
бўлганлиги 
учун 
қаралаётган 
функциялар 
[−𝜋, 𝜋]
оралиқда чизиқли боғлиқсиз. 
Мақолада келтирилган Грамм детерминанти ҳақидаги маълумотлар кенг 
амалий аҳамиятга эга. Хусусан, олиб борилаётган бир қатор илмий ишларда [1-
18] чизиқли фазо, ортогонал ва ортонормал системалар, берилган функциялар 
системаларини чизиқли боғлиқлиги ёки чизиқли боғлиқмаслиги чуқур 
ўрганилган. Талабаларга бериладиган билим сифатини ошириш мақсадида 
илғор педагогик технологиялардан фойдаланилса [19-28] мақсадга мувофиқ 
ҳисобланади. Тажрибалар шуни кўрсатмоқдаги, машғулотлар давомида 
математиканинг амалиётга тадбиқларига бағишланган илмий ишлар [29-30] 
ҳақида қисқача маълумотлар берилиши, талабаларда фанга бўлган қизиқишни 
ортиши ва дунёқарашларини кенгайишига сабаб бўлади.