Ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika

1.5-§. Ehtimollikning xossalari
Quyida biz ehtimollikning asosiy xossalarini keltiramiz.

0. 
   P(0)=0.
   

Isbot. Bu natija 0 u Q = Q tenglikdan va 2, 3-aksiomalardan kelib chiqadi:
P ( 0 u Q) = P ( Q),
p ( 0 ) + p ( n ) = P(n),
P ( 0 ) = o.

3. 
   P{A) = \-P(A).
   

Isbot. Bu xossaning isboti uchun A u A - Q va A n A - 0 tengliklardan foydalanamiz. Haqiqatan ham, bu tengliklarga asosan
P ( A u A ) = P( a) ,
P(A)+P(A) = 1,

0. 
   {A) = \-P(A).
   

28

0. 
   Agar A c B bo‘lsa, u holda P(A) < P{B). Isbot. Ravshanki, B = A u AB va
   

tenglik o‘rinli. Bunda P( AB) > 0 ekanligini e’tiborga olsak, is-botlash talab qilingan tengsizlik kelib chiqadi.

0. 
   0
   
   

Isbot. Bu xossaning isboti 3-xossadan va 1-, 2- aksiomalardan kelib chiqadi.

5888. 
      P ( A u B ) = P(A)+ P ( B ) - P ( A n B ) .
      

Isbot. Quyidagi A B = A u \ B \ ( A n B)\ tenglikni yozish mumkin, demak
P ( A v B ) = P(A) + P ( [ B \ ( A n B ) \ ) = P(A)+ P{B)~ P ( A n B ) .
6. P(A
Isbot. 5-xossadan kelib chiqadi.
7. Ixtiyoriy Au A2, ..., A„ hodisalar uchun

/<j

tenglik bajariladi. Bu munosabat Bui formulasi deyiladi.
Isbot. Matematik induksiya metodi bo‘yicha isbotlaymiz. k=2 uchun bu xossa o‘rinli, chunki 5-xossa bo‘yicha
P(A B) = P(A)+ P( B) ~ P ( A n B ) .
Faraz qilaylik, k=n—1 uchun bu xossa o‘rinli bo‘lsin, ya’ni ixtiyoriy A h A2, An_, hodisa uchun
( n-l \ n- 1

0. 
   IM =5 > < 4 )-Z P<-4AI)*
   

S-rasm.
n-1
tenglik bajariladi. U holda # = (J A, belgilashni kniiib, t|iiyid-1=1
agini hosil qilamiz:

23. 
    \ j A i = P ( B u An) = P( B)+ P ( A n )~ P( AnB ) .
    

23. 
    *=i y
    

Endi

(n-1	A	( n~\
P(B)= P U A,		va P( AnB ) = P | J < 4 A >	)
V<=i	y	v<=i

munosabatlardan k —n uchun xossaning bajarilishi kelib chiqadi. Uchta hodisa uchun Bui formulasi quyidagi

P(A u B u C ) = P( A) + P(B) + P(C) - -P(AB)- P(AC)- P(BC)+ P(ABC)

ko‘rinishda bo‘lib, uni 8-rasmdagi kabi chizma orqali izohlash mumkin.

1.6-§. Shartli ehtimollik. Hodisalar bogMiqsizligi

r i \

Misollardan boshlaylik. Tajribamiz simmetrik tangani 3 marta tashlashdan iborat bo‘lsin. «Gerb» tomoni bir marta tushish chti-

3

molligi klassik sxemada r ga teng. (Elernentar hodisalar umumiy

soni sakkizta; uchta elernentar hodisadan (GRR), (RGR), (RRG) birortasi ro‘y berishi mumkin.) Bu hodisani A orqali belgilaylik. Endi biz B hodisa #={tanga «Gerb» tomoni bilan toq marta tushadi} ro‘y berganligi haqida qo‘shimcha ma'lumotga ega boMaylik. Bu qo‘shimcha ma’lumot A hodisaning ehtimolhgiga qanday ta’sir qiladi? B hodisa 4 ta elernentar hodisadan iborat, A hodisa esa 3 ta B hodisaga tegishli elernentar hodisadan iborat. Tabiiyki, endi

3

A hodisaning yangi ehtimolligi ^ ga teng deb olish to‘g‘ri bo‘ladi.
Bu yangi ehtimollik —shartli ehtimollik bo‘lib, u A hodisaning B hodisa ro‘y beradi degan sharti ostidagi ehtimolligini bildiradi.
Yana bir misol. Natijalari n ta bo‘lgan klassik sxemani ko‘raylik. Agar A hodisa r ta elernentar hodisadan, B hodisa m ta elernentar hodisadan, AB hodisa esa k ta elernentar hodisadan iborat bo'lsa, u holda yuqorida keltirilgan misolda yuritilgan fikrlar asosida

23. 
    hodisaning B hodisa ro‘y beradi degan sharti ostidagi ehtimol­ ligini
    

P(A/B) = PB (A) = A = = ^ 1

D m m/n P ( B )
deb qabul qilinadi.
Endi umumiyroq ta’rifga o‘tish mumkin. (Q,$,P) ehtimollik fazosi berilgan bo‘lib, A va B ixtiyoriy hodisalar bo'lsin (A,Be. 5).
1-ta’rif. A hodisaning B hodisa ro‘y beradi degan sharti ostidagi
ehtimolligi deb, P{ B)>0 bo‘lgan holda P ( A / B ) = formula
bilan aniqlanadigan songa aytamiz.
Shartli ehtimolliklar quyidagi xossalarga ega:
P(B/B)= 1, P(Q/B) = 1;
P(0/B) =0 ;
agar BcA bo‘lsa, u holda P(A/B)—1;
agar AlnA 2=0 bo1Isa, u holda P(AlnA 2/B)=P(Al/B)+P(A2/B). Yuqoridagi xossalar bevosita shartli ehtimollikning ta’rifidan
kelib chiqadi.
Keltirilgan xossalardan kelib chiqadiki, Pb( )—P( /B) ehtimollik (B,$B,Pb) fazoda aniqlangan ehtimollik boiib, bu yerda

31

B={An B: Ae $ } .
(B,$B,Pb) ehtimollik fazosini birlamchi P) fazoning «qis-
qartirilgan» varianti deb tushuniladi.
Shartli ehtimolliklar hodisalarning quyidagi bogiiqsizlik tushun­ chasini oydinlashtiradi.
2 -ta’rif. Agar,4va B hodisalar uchun P(AB)=P(A)-P(B) tenglik bajarilsa, A va B o ‘zaro bog‘liq bo'magan (bog'liqsiz) hodisalar deyiladi. Aks holda bu hodisalar bog'liq deyiladi.
B ogiiq boim agan hodisalar uchun quyidagi munosabatlar o‘rinli.

23. 
    Ava B hodisalar o‘zaro bogiiqsiz bolishi uchun l\A/B)=P{A) tenglik bajarilishi yetarli va zaruriy shartdir.
    

23. 
    Agar A va B o‘zaro bogiiqsiz hodisalar boisa, u holda A va B, A va B hamda A va B hodisalar ham mos ravishda o‘zaro bog‘-liqsiz boiadi.
    

Keltirilgan da’volami A va B hodisalar uchun hisoblaymiz. Haqiqatdan ham,

P(AB) = P{B\AB) = P(B) - P(AB) = P(B) - l\A)P(B) =

23. 
    P{B){\ - P{A)) = P(A)P(B).
    

23. 
    A va 5, hamda A va B2 hodisalar o ‘zaro bogiiqsiz boiib, va B2 birgalikda boim agan hodisalar boisin (BiB2—0) . U holda A va BXKJB2 o‘zaro bogiiqsiz hodisalar boiadi.
    

Buni ushbu

P{ A (B ^ B 2)) = PiAB{uAB 2) = P(AB,) + P(AB2) =

23. 
    P(A)(P(Bl) + P(Bq)) = P(A) ■P(Bl'uB2).
    

tengliklar isbotlaydi.

Shartli ehtimollikning ta’rifidan quyidagi
PiAB) = P(B) • P(A/B), P(AB) = P(A) f\B/A) tengliklar kelib chiqadi.
Bu tengliklar yordamida ikkita bogiiq boigan hodisaning bir vaqtda ro‘y berish ehtimolligini hisoblash mumkin. Bu ehtimollik hodisalardan birining ehtimolligini ikkinchisining birinchisi ro‘y berdi degan shart ostidagi ehtimolligiga ko‘paytmasiga teng.

32

Demak, biz amalda bog‘liq boigan hodisalar uchun ehtimol-liklarni ko‘paytirish teoremasini keltirdik.

Bu teoremani quyidagicha umumlashtirish mumkin. Bir qan-cha bog‘liq bo‘lgan hodisalaming bir vaqtda ro‘y berish ehtimolli­ gi uchun
}\A\ A j A t) = PiAs) • PiA-JA\) ■PiA^/A\Aj) •... • P(An/A l-A2 ...An_i) formula o‘rinli. Ravshanki, o‘ng tomondagi ko‘paytma mumkin bo'lgan ko‘paytmalardan birginasidir xolos.
Q‘zaro bogiiqsiz hodisalar uchun ehtimolliklarni ko'paytirish teoremasi 2-ta’rifdan bevosita kelib chiqadi va u quyidagicha:
ikkita bog‘liqsiz hodisalaming birgalikda ro‘y berish ehtimolligi bu hodisalar har birining ro'y berish ehtimolliklarining ko‘payt-masiga teng:
P(AB)=P(A)P(B).
Natija. 0 ‘zaro bogiiq bo‘lmagan bir nechta hodisalaming bir­ galikda ro‘y berish ehtimolligi bu hodisalar har birining ro‘y be­ rish ehtimolliklarining ko‘paytmasiga teng:
PiA];A1-..,An) = PiA{) ■PiA2) ■... ■P{An).
3 -ta’rif. Agar A h A2, ..., An hodisalar berilgan bo‘lib, ixtiyoriy

23. 
    (2 va 1 < ix < i2< ...< ik< n tengsizliklami qanoatlantiruv-chi butun sonlar uchun
    

P ( A h. Ai2- ...- Ait) = P ( A h )- P( Ai2)-.... P ( A ik)
tengliklar sistemasi o‘rinli boisa, A x, A2, ..., An hodisalar birgalik­ da o ‘zaro bog‘liq bo‘lmagan (bogiiqsiz) hodisalar deyiladi. Aks holda bu hodisalarga birgalikda bogiiq deb aytiladi.
Hodisalaming juft-jufti bilan bogMiqsizligidan ularning birga­ likda bog£liqsizligi kelib chiqmaydi. Bunga quyidagi Bernshteyn misolini keltirish mumkin.
Misol. Tajriba tekislikka tetraedrni tashlashdan iborat bo‘lsin. Tetraedming birinchi tomoni ko‘k, ikkinchi tomoni yashil, uchinchi tomoni qizil, to ‘rtinchi tomoni esa har uchala rangga, ya’ni ko‘k, yashil va qizil ranglarga bo‘yalgan bo‘lsin.

23. 
    hodisa tetraedrning tekislikka ko‘k rangli tomoni bilan tushish, B hodisa tekislikka yashil rangli tomoni bilan tushish, C hodisa
    

33

esa tekislikka qizil rangli tomoni bilan tushish hodisalari bo'lsin. Tushunarliki, agar tetraedr tekislikka to‘rtinchi tomoni (har uchala rangga bo‘yalgan tomoni) bilan tushsa, u holda A, B va C hodi-salaming uchalasi bir vaqtda sodir bo‘ladi. Bu hodisalarning ehti-molliklarini klassik ta i’if yordamida hisoblaymiz:

P(A) = 1 = i . P(B) = l , P(C) = i .
Endi
P { A B ) = l- = lr \ = P{A) - P{B),
P i A C) = \ = L L = P ( A ) . P ( C ) ,
P(BC) =\ = \ - \ = P(B)P{C)
boiganligi uchun bu hodisalar juft-jufti bilan o‘zaro bog'liqsiz ho-disalardir. Endi ularning uchalasining ko‘paytmasini ko‘ramiz. Tu­
shunarliki, P(ABC) = I . Ammo P{A)- P{B) P(C) = ^ P(ABC).
Demak, A, B, C hodisalar birgalikda bogiiqsiz boim as ekan.