Fagʻona davlat universteti Matematika-informatika fakulteti 21. 01-guruh talabasi maxamadaliyeva ra’noxonning analitik geometriya fanidan tayyorlagan taqdimoti

Fagʻona davlat universteti Matematika-informatika fakulteti 21.02-guruh talabasi Abdujalilov Asadulloning analitik geometriya fanidan tayyorlagan taqdimoti

Ikkinchi tartibli chiziqlarning umumiy tenglamalarini kanonik koʻrinishi

• MAVZU:

Reja:

• Ikkinchi tartibli chiziqlar.
• Ellipsning kanonik tenglamasi.
• Giperbolaning kanonik tenglamasi.
• Parabolaning kanonik tenglamasi.

Ikkinchi tartibli chiziqlar

• Ikkinchi tartibli chiziqning umumiy tenglamasi odatda quyidagi koʻrinishlardan birida yoziladi:

1.Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0

2.a(11)x^2+2a(12)xy+a(22)y^2+a(1)x+2a(2)y+a=0

3.a(11)x^2+2a(12)xy+a(22)y^2+a(13)x+a(23)y+a(33)=0

1 koʻrinishdagi tenglama quyidagi chiziqlarning birini aniqlaydi:

• x^2/a^2+y^2/b^2=1 ellips

x^2/a^2+y^2/b^2=-1 mavhum ellips

X^2/a^2+y^2/b^2=0 ikkita mavhum kesishuvchi toʻgʻri chiziq

x^2/a^2-y^2/b^2=1 giperbola

x^2/a^2-y^2/b^2=0 kesishadigan ikki toʻgʻri chiziq

• Y^2=2pX parabola
• X^2=a^2, a≠0 ikkita parallel toʻgʻri chiziq

x^2=-a^2, a≠0 ikkita mavhum parallel toʻgʻri chiziq

X^2=0 ikkita ustma-ust tushuvchi toʻgʻri chiziq

Ikkinchi tartibli chiziqlarni uch guruhga ajratish mumkin:

• Birinchi guruhga yagona simmetriya markaziga ega boʻlgan chiziqlar kiradi. Ular: ellips, mavhum ellips, kesishadigan ikki mavhum toʻgʻri chiziq, giperbola va kesishadigan ikki toʻgʻri chiziq.
• Ikkinchi guruhga simmetriya markaziga ega boʻlmagan chiziqlarni, ya’ni parabolani kiritamiz. Chiziqning parabola boʻlishi uchun I(2)=0, k(3)≠0 shart bajarilishi zarur va yetarli.
• Uchinchi guruhga simmetriya markazlari toʻgʻri chiziqni tashkil etadigan chiziqlarni kiritamiz. Ular: ikki parallel toʻgʻri chiziq, ikki mavhum parallel toʻgʻri chiziq, ustma-ust tushuvchi ikki toʻgʻri chiziq. Ikkinchi tartibli chiziqning simmetriya markazi toʻgʻri chiziqni tashkil etishi uchun I(2)=0,k(3)=0 shart bajarilishi zarur va yetarli.

Ellipsning kanonik tenglamasi

• Ellipsning kanonik tenglamasi quyidagicha koʻrinishga ega: x^2/a^2+y^2/b^2=1

bu yerda a,b (a>b) yarim oʻqlari uzunligi, ya’ni ellipsning koordinata oʻqlaridan ajratgan kesmalarning yarmi. Ellipsning simmetriya oʻqlari bilan kesishgan nuqtalari, ellipsning uchlari deyiladi. F(1)(-c,0),F(2)(c,0) nuqtalar ellipsning fokuslari deb ataladi,bunda: c=√(a^2-b^2) (2) c/b=a≤1 (3)

son ellipsning ekssentrisiteti deyiladi.

M(x,y) nuqta ellipsning ixtiyoriy nuqtasi boʻlsa va r(1),r(2) shu M nuqtadan F(1),F(2) fokuslarigacha masofalari boʻlsa,

r(1)=a+ex, r(2)=a-ex (4)

• Har biridan fokuslargacha boʻlgan masofalar yigʻindisi oʻzgarmas 2a songa teng nuqtalarning geometrik oʻrni ellips dir.
• X=+(-)a/e (5) tenglamalar bilan aniqlangan toʻgʻri chiziqlar ellipsning direksiya lari deb ataladi. (4) va (5) dan ellipsning har bir nuqtasi uchun r(1)/d(1)=e, r(2)=d(2)=e tengliklar oʻrinli , bu yerda d(1),d(2) sonlar M nuqtadan x=-a/e,x=a/e direksiyalargacha masofalarni bildiradi.

Agar (1) ellips vatarlarining burchak koeffitsiyenti k boʻlsa , unga qoʻshma diametr tenglamasi quyidagicha : x/a^2+ky/b^2=0

Giperbolaning kanonik tenglamasi

• Giperbola kanonik tenglamasi quyidagicha koʻrinishga ega:
• x^2/a^2-y^2/b^2=1 (9)

bu yerda a,b haqiqiy va mavhum yarim oʻqlar uzunliklari. a=b holda giperbola teng yonli deyiladi. Giperbolaning haqiqiy oʻq bilan kesishish nuqtalari giperbolaning uchlari deyiladi.

F(1)(-c,0), F(2)(c,0) nuqtalar giperbolaning fokuslari deyiladi, bu yerda c=√(a^2+b^2) (10)

e=c/a>1 songa giperbolaning ekssentrisiteti deyiladi.

Giperbolaning chap shoxchasidagi ixtiyoriy M(x,y) nuqta va uning F(1), F(2) fokuslarigacha masofalari r(1),r(2) boʻlsa, u holda: r(1)=-a-ex, r(2)=+a-ex (x≤-a) (11)

• M(x,y) nuqta giperbolaning oʻng shoxchasidagi ixtiyoriy nuqta va uning F(1), F(2) fokuslarigacha masofalari r(1),r(2) boʻlsa: r(1)=a+ex, r(2)=-a+ex (x≥a) (12) tenglik oʻrinli.
• Har biridan fokuslargacha masofalar ayirmasining absolyut qiymat oʻzgarmas 2a soniga teng nuqtalarning geometrik oʻrni giperbola dir.
• x=+(-) a/c (13) toʻgʻri chiziqlar (9) giperbolaning direktrisalari deb ataladi.
• (11),(12),(13) dan r(1)/d(1)=e, r(2)/d(2)=e bu yerda r(1)-chap fokusdan giperboladagi nuqtagacha masofa, r(2)-oʻng fokusdan giperboladagi nuqtagacha masofa, d(1),d(2) esa shu nuqtalardan x=-a/e,x=a/e direksiyalargacha masofa.

Parabolaning kanonik tenglamasi

• Parabolaning kanonik tenglamasi: y^2=2px (19)

Koʻrinishga ega. Bu yerda p parabolaning parametri va p parabola fokusidan direktrisasigacha boʻlgan masofani bildiradi. Parabolaning simmetriya oʻqi (Ox oʻqi) bilan kesishish nuqtasi parabolani uchi deyiladi.(19) parabolaning F fokusi (p/2,0) koordinataga ega. Parabolaning direktrisasi x=-p/2 (20) tenglamadan aniqlanadi.(19) paraboladagi M(x,y) nuqtadan F fokusgacha boʻlgan r masofa quyidagi formuladan aniqlanadi: r=p/2+x.

• Har biridan fokus va direktrisagacha boʻlgan masofa bir-biriga teng boʻlgan nuqtalarning geometrik oʻrni parabola dir. Parabolaning hamma diametrlari simmetriya oʻqiga (Ox oʻqiga) parallel va y=p/k (22) tenglamadan aniqlanadi,bu yerda k qoʻshma vatarlarning burchak koeffitsiyenti. Parabolaning M(x,y) nuqtasidagi urinmasi yy(0)=p(c+c(0)) tenglamadan aniqlanadi.
• Parabola koʻpincha y=ax^2 koʻrinishda beriladi. Bu holda parabolaning oʻqi Oy oʻqi bilan ustma-ust tushadi,parametri esa p=1/(2|a|) ga teng.

E’tiboringiz uchun raxmat