Fani bo’yicha o’quv-uslubiy majmua

B{x f(x)0}

U holda  ekanligi masala shartidan kelib chikadi. 4.3.Teoremani e’tiborga olsak A to’plamda f(x)>0 deb qarashimiz mumkin.
Endi faraz qilaylik  bo’lsin. U holda F0 bo’lsa FA berk qism to’plam mavjuddir va F to’plamda f(x) funktsiya uzluksiz bo’ladi (Luzin teoremasiga qarang). F to’plamning ixtiyoriy x nuqtasi uchun f(x)>0 bo’lganidan va f(x) funktsiya F to’plamda uzluksiz bo’lganidan f(x)C tengsizlik o’rinli bo’ladigan S>0 son mavjud.
Endi

Bu qarama-qarshilik (ziddiyat) bizning farazimiz noto’g’ri ekanligini ko’rsatadi.
Demak, 0
4.4.masala.

integralni hisoblang.
Yechish. Ma’lumki, ln(1-x^q) funktsiyani [0,1) oraliqda ushbu



darajali qatorga yoyiladi. Bu qator [0,1) da tekis yaqinlashuvchidir. Demak qator ln(1-x^q) funktsiyaga [0,1) hamma joyida deyarli yaqinlashadi.
Endi

deb faraz qilaylik. f_n(x) funktsiyalar o’smaydigan ketma-ketlikni tashkil qiladi va uning integrali

Bu esa {f_n(x)} ketma-ketlikning 4.8.teorema shartlarini qanoatlantirishini ko’rsatadi.

Demak,

4.5.masala. Ushbu

funktsiya [0,) oraliqda:
a) Riman bo’yicha integrallanuvchi bo’ladimi?
v) Lebeg bo’yicha integrallanuvchi bo’ladimi?
Yechish. Quyidagicha belgilash qilamiz.

f(x) funktsiya x da monoton kamayuvchidir va f(x)0.
g(x) funktsiyaning [0,A] oraliqdagi boshlang’ich funktsiyasi tekis chegaralangan. Shuning uchun [0,) da f(x)g(x) funktsiyaning Piman integrali mavjud (Dirixle alomatiga asosan).
Lebeg ma’nosida f(x)g(x) va  f(x)g(x) funktsiyalar bir vaqtda yoki integrallanuvchi yoki integrali mavjud emas. [0,)da f(x)g(x) funktsiyaning integrallanuvchi emas ekanligini ko’rsatamiz.
Haqiqatan ham,agar f(x)g(x)integrallanuvchi bo’lsa, u holda sin²xsinx (xR) ga asosan

funktsiya ham integrallanuvchi bo’ladi.
Demak [0,) da f(x) va f(x)cos2x funktsiyalar integrallanuvchi.
Lekin

bo’lgani uchun

bu oxirgi qarama-qarshilik (ziddiyat) f(x)g(x) funktsiyaning [0,) da integrallanuvchi emas ekanligini ko’rsatadi.
Demak, bu funktsiyaning Lebeg integrali mavjud emas.
4.6.masala. f(x) funktsiyaning ixtiyoriy [] da ([(a,b)) Riman integrali mavjud. Bu funktsiyaning [a,b] kesmada integrali mavjudmi?
Yechish. Yuqoridagi 4.10. teoremaga asosan f(x) funktsiya chegaralangan va [a,b] ning deyarli hamma joyida uzluksiz bo’lishi kerak.
Ixtiyoriy (a,b) kesmada f(x) funktsiya integrallanuvchi bo’lganligidan f(x) funktsiya (a,b) intervalda deyarli hamma joyda uzluksizligi kelib chiqadi. U holda [a,b] kesmaning hamma joyida deyarli uzluksiz. Lekin ixtiyoriy (a,b) kesmada f(x)ning chegaralanganligidan [a,b] kesmada chegaralnganligi kelib chiqadi. Haqiqatan ham, agar bo’lsa, u holda f(x) funktsiya [a,b] kesmada chegaralanmagan, lekin ixtiyoriy (a,b)da funktsiya chegarlangan.
Demak, f(x) funktsiyaning [a,b] kesmada Riman integrali mavjud bo’lmasligi mumkin.
4.7.masala. Agar

bo’lsa

tenglik o’rinli bo’ladimi?
Yechish. {f_n(x)} funktsiyalar ketma-ketligi [0,1] kesmada nolga yaqinlashadi. Demak, {f_n(x)} ketma-ketlik n o’lchov bo’yicha nolga yaqinlashadi. Bu esa Lebeg teoremasining (4.7.teorema) birinchi sharti bajarilishini ko’rsatadi.
Endi

bo’lgani uchun Lebeg teoremasining ikkinchi sharti bajarilmasligini ko’ramiz.
Shunday qilib {f_n(x)} funktsiyalar ketma-ketligi uchun integrallanuvchi mojaronta (taqqoslanuvchi) funktsiya mavjud emasligini tasdiqlaymiz.
Demak, berilgan funktsiya uchun

4.8.masala. Agar



bo’lsa, u holda  ning qanday qiymatlarida

tenglik o’rinli bo’ladi?
Yechish. Ixtiyoriy n{1,2,…} uchun

Bu esa n da x0, x1 nuqtalarda f_n(x)0 ekanligini ko’rsatadi. Agar 0
Ixtiyoriy R(-) uchun n da n^ⁿ0 bo’lganidan n da [0,1] kesmada f_n(x) R.
Shuning uchun R bo’lib n da