Fazoda to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi

u nuqtaning to‘g‘ri burchakli
x Dekart koordinatalari va
o x qutb koordinatalar orasida
quyidagi sodda boglanish mavjud:
x=r Cos .y=rSin . r= . =arc tg y/x

M: M(5;5) nuqtani qutb koordinatalar sistemasidagi koordinatalarini toting,
Echish: r= = =5 ; =arstg u/x=arctg 1=45= 


Demak M(5;5)= M 
Sferik koordinatalar sistemasi — uch oʻlchamli koordinatalar sistemasi boʻlib, fazodagi nuqtaning vaziyati uchta kattalik bilan ({\displaystyle r,\theta ,\varphi } ) bilan aniqlanadi. Bu yerda {\displaystyle {\displaystyle r}}  — koordinatalar boshigacha boʻlgan masofa, {\displaystyle {\displaystyle \theta }}  va {\displaystyle {\displaystyle \varphi }} — mos holda zenit va azimutal burchaklar.
Zenit va azimut tushunchalari astronomiyada keng qoʻllaniladi. Zenit — ixtiyoriy tanlangan nuqta (kuzatish nuqtasi) dan vertikal yuqoriga yoʻnalgan boʻlib, fundamental tekislikda yotadi. Astronomiyada fundamental tekislik sifatida ekvator yotgan tekislik yoki ekliptika tekisligi olinadi. Azimut — fundamental tekislikdagi ixtiyoriy tanlangan nur bilan boshlangʻich kuzatish nuqtasi orasidagi burchak.

1-rasm. Ixtiyoriy nuqtaning fazodagi vaziyatini uchta dekart koordinatalari yoki uchta sferik koordinatalar orqali aniqlash mumkin.

Mundarija

• 
  
  • 
    
  • 
    
• 
  
• 
  
• 
  
• 
  
• 
  

Boshqa koordinata sistemalariga oʻtishTahrirlash

Dekart koordinatalar sistemasiTahrirlash

Agar nuqtaning sferik koordinatalari {\displaystyle (r,\;\theta ,\;\varphi )}  berilgan boʻlsa, dekart koordinatalariga oʻtish uchun quyidagi formulalardan foydalaniladi:
{\displaystyle {\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \varphi ,\\y=r\sin \theta \sin \varphi ,\\z=r\cos \theta .\end{cases}}}
Dekart koordinatalaridan sferik koordinatalarga oʻtish uchun esa:
{\displaystyle {\begin{cases}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\\\theta =\arccos {\dfrac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}=\mathrm {arctg} {\dfrac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}},\\\varphi =\mathrm {arctg} {\dfrac {y}{x}}.\end{cases}}}
Sferik koordinatalarga oʻtish yakobiani:
{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}J&={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}={\begin{vmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{vmatrix}}=\\&=\cos \theta (r^{2}\cos \varphi ^{2}\cos \theta \sin \theta +r^{2}\sin ^{2}\varphi \cos \theta \sin \theta )+r\sin \theta (r\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\varphi +r\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\varphi )=\\&=r^{2}\cos ^{2}\theta \sin \theta +r^{2}\sin ^{2}\theta \sin \theta =\\&=r^{2}\sin \theta .\end{alignedat}}}
Shunday qilib, dekart koordinatalaridan sferik koordinatalarga oʻtishdagi hajm elementi quyidagi koʻrinishga ega boʻladi:
{\displaystyle \mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=J(r,\theta ,\varphi )\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi }