Федеральное агенство по образованию

Замечание. Уравнение Лапласа часто записывается в ком­пакт­­ной форме
или ,
где – так называемый оператор Лапласа, имеющий различ­ный вид в зависимости от системы координат. Соответственно раз­лич­ным образом запишется и уравнение Лапласа. Так, в декартовой ортогональной системе координат x, y, z оператор Лапласа имеет вид
.
В частности, для двумерного случая
.
В цилиндрических координатах r, φ, z (r – полярный радиус-вектор точки, φ – полярный угол):
.
В сферических координатах r, θ, φ (r – радиус-вектор точки, а θ и φ – соответственно углы долготы и широты)
.
Для определëнности примем в дальнейшем, что
. (2.83)
Метод Фурье разделения переменных применим и к реше­нию уравнения Лапласа для таких простых областей, как прямо­угольник, круг и т.п. Как и для уравнений гиперболического и параболичес­кого типов, частные решения отыскиваются в виде
. (2.84)
Подставляя решение (2.84) в уравнение (2.80), получим условие разделения переменных в виде
, (2.85)
где – постоянная разделения.
Из (2.85) следуют два независимых обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнения второго порядка
, (2.86)
. (2.87)
Подставляя (2.84) в граничные условия (2.81), получим
. (2.88)
В результате, для определения функции X(x) приходим, как и выше, к той же самой задаче на собственные значения (2.9–2.10), что и для волнового уравнения и для уравнения теп­лопро­водности. Собственные значения этой задачи определяются по фор­муле, аналогичной формуле (2.14), а соответствующие этим значениям собственные функции равны согласно (2.15)
. (2.89)
Для функции же Y(y) из (2.87) c учетом (2.14) получаем линейное однородное уравнение
. (2.90)
Характеристическое уравнение, соответствующее дифферен­циаль­ному уравнению (2.90)
,
имеет действительные и различные корни. Поэтому частные решения уравнения (2.90) будут
.
Удобнее в расчетах использовать их линейные комбинации – гиперболические функции
.
В соответствии с принципом суперпозиции решений для линейных однородных уравнений эти функции также будут частными решениями уравнения (2.90). Поэтому общее решение уравнения (2.90) может быть записано в виде
. (2.91)
Подставляя теперь (2.89) и (2.91) в (2.84) и суммируя частные решения, получим решение уравнения (2.80), удовлетворяющее однородным граничным условиям (2.81)
. (2.92)
Постоянные α_n и β_n находим из граничных условий (2.82) на горизонтальных сторонах области. При y =0 и y = b из (2.92) следует
, (2.93)
, (2.94)
где
.
Из (2.93), (2.94) следует, что и можно рассматривать как коэффициенты Фурье соответственно для функций U₀(x) и U₁(x) при разложении их в ряды Фурье по синусам на промежутке [0, a]. Следовательно,
, (2.95)
. (2.96)
Из (2.96) найдем
. (2.97)
В частном случае, при

(см.2.83) получим
, (2.98)
. (2.99)
Подставляя далее формулы (2.96) и (2.97) в равенство (2.92), после элементарных тригонометрических преобразований получим решение краевой задачи (2.80–2.82) в виде
. (2.100)
В частном случае, когда α_n и β_n определяются согласно (2.98) и (2.99), приходим к решению
. (2.101)