Eyler tenglamasi
Suyuqlikda qandaydir hajmni ajratib olamiz. Ajratib
olingan suyuqlik
hajmiga ta’sir etuvchi to’la kuch:
∫
−
pdf
Ushbu integralni hajm bo’yicha integralga aylantirsak
∫
∫
−
=
−
gradpdV
pdf
Demak, suyuqlikning har qanday
dV
hajmiga suyuqlikning tashqi
tomonidan
dV
–
p
grad
kuch ta’sir qilar ekan, ya’ni suyuqlikning hajm birligida
p
grad
kuch ta’sir etar ekan. Demak
gradp
dt
v
d
−
=
ρ
v
d
- berilgan suyuqlik zarrachasiga o’zgarish tezligi
1)
,
dt
dt
v
d
dt – vaqt mobaynida nuqta tezligining o’zgarishi
2)
v
r
d
dz
dv
dz
dy
dv
dy
dx
dv
dx
)
(
∇
=
+
+
O’sha vaqt momentida suyuqlik
zarrachasi r
d
masofani o’tayotgan ikki nuqta
tezliklar farqlarining yig’indisiga teng.
Shunday qilib,
v
r
d
dt
dt
v
d
v
d
)
(
∇
+
=
ni
dt
ga bo’lsak,
v
v
dt
v
d
dt
v
d
)
(
∇
+
=
gradp
v
v
dt
v
d
ρ
1
)
(
−
=
∇
+
(1)
Bu formula 1755 yilda Eyler tomonidan berilgan suyuqlik harakat tenglamasi,
ya’ni Eyler tenglamasidir.
Agar suyuqlik og’irlik maydonida jylashgan bo’lsa (1) tenglama
g
p
v
v
dt
v
d
+
∇
−
=
∇
+
ρ
)
(
(2)
g-og’irlik kuchi tezlanishi.
Nazorat savollari.
1. Uzluksizlik tenglamasini ifodalab bering (suyuqlik
va gazlar, suyuqlik
miqdori, gradiyent, divergensiya).
2. Eyler tenglamasi ko’rinishini ko’rsating (ta’sir etuvchi to’la kuch, og’irlik
maydoni).
3. Gidrostatika tenglamasini yozing (Eyler tenglamasi, suyuqlik zichligi,
bosim, issiqlik va termodinamik muvozanat).
27-ma’ruza: BERNULLI TENGLAMASI
REJA
1. Gidrostatika.
2. Bernulli tenglamasi.
TAYANCH SO’Z VA IBORALAR: Eyler tenglamasi, zichlik, impuls, suyuqlik, vkrtikal, gradiyent, maydon,
tekislik, Bernulli tenglamasi
Gidrostatika
Bir jinsli og’irlik maydonida joylashgan tinch turuvchi suyuqlik uchun Eyler
tenglamasidan
g
graqdp
ρ
=
(1)
Bu tenglama suyuqlik mexanik muvozanatini aniqlaydi.
Agar tashqi kuchlar bo’lmasa
0
=
∇
p
, ya’ni
const
p
=
Suyuqlik har bir nuqtasida bosim bir xil.
Suyuqlik butun hajmi bo’yicha suyuqlik zichligini o’zgarmas deb
hisoblasak
(1) tenglama osongina integrallanadi.
z
o’qni vertikal yuqoriga yo’naltirsak,
g
z
p
y
p
x
p
ρ
−
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
,
0
Bu yerdan
const
gz
p
+
−
=
ρ
Tinch turgan suyuqlik
h
balandlikda erkin sirtga ega bo’lsa, bu sirtning har
bir nuqtasiga bir xil
0
r tashqi bosim qo’yilgan bo’lsa, bu sirt
h
z
= gorizontal
tekislikka ega bo’lishi kerak.
h
z
p
p
o
=
=
,
Shartidan
gh
p
const
o
ρ
+
=
Demak,
)
(
z
h
g
p
p
o
−
+
=
ρ
Aytaylik, suyuqlik nafaqat mexanik, balki issiqlik
muvozanatida joylashgan
bo’lsin. U holda (1) tenglama quyidagicha integrallanadi. Quyidagi termodinamik
muvozanatdan foydalanamiz:
Vdp
SdT
d
+
−
=
Φ
F
-suyuqlik massa birligiga to’g’ri keluvchi termodinamik potensial. O’zgarmas
temperaturada
dp
Vdp
d
dT
const
T
ρ
1
0
,
=
=
Φ
=
=
Φ
∇
=
∇
p
ρ
1
deb yozish mumkin.
(3) dan
g
p
grad
ρ
=
g
g
g
p
=
Φ
∇
=
Φ
∇
=
∇
,
,
ρ
ρ
ρ
z
o’qi bo’yicha
g
o’zgarmas vektori uchun quyidagi ayniyat mavjud:
)
(
gz
g
−∇
=
Demak,
const
gz
gz
=
+
Φ
=
+
Φ
∇
,
0
)
(
gz –og’irlik maydonida suyuqlik massasi birligiga to’g’ri keluvchi potensial
energiya, (4) tashqi maydonda joylashgan sistemaning termodinamik
muvozanat
sharti.
Nazorat savollari
4. Uzluksizlik tenglamasini ifodalab bering (suyuqlik va gazlar, suyuqlik
miqdori, gradiyent, divergensiya).
5. Eyler tenglamasi ko’rinishini ko’rsating (ta’sir etuvchi to’la kuch, og’irlik
maydoni).
6. Gidrostatika tenglamasini yozing (Eyler tenglamasi, suyuqlik zichligi,
bosim, issiqlik va termodinamik muvozanat).
7. Bernulli tenglamasini keltirib chiqaring (stasionar oqim, issiqlik funksiyasi).