Функциянинг узлуксизлиги тушунчаси

2⁰. Сегментте үзликсиз болған функциялардың қәсийетлери (глобал қәсийетлер). Мейли, функция сегментте берилген болсын.
Бизге мәлим, функция да үзликсиз, точкада оңнан, точкада шептен үзликсиз болса, функция сегментте үзликсиз болады.
Енди сегментте үзликсиз болған функциялардың қәсийетлерин келтиремиз. Олар теоремалар арқалы аңлатылады.
1-теорема. (Вейерштрасстың биринши теоремасы). Егер функция сегментте үзликсиз, ямаса болса, функция да шегараланған болады.
◄ Бизге мәлим, функцияның да шегараланғанлығы төмендегини

аңлатады.
Керисинше болса да функция да шегараланбаған болсын. Бул жағдайда


(4)

болады. Бул жағдайда, пайда болатуғын избе-излик ушын болғанлығы себепли ол шегараланған болады. Онда Больцано-Вейерштрасс теоремасына муўапық бул избе-изликтен жыйнақлы үлес избе-излик ажыраыў мүмкин:

да .

Шәртке муўапық функция да үзликсиз. Буннан,

да (5)

болады. Бул (5) қатнас жоқарыда айтылған уйғарыўға қарама-қарсы(себеби, уйғарыў бойынша

болыўы лазым еди). Демек, функция да шегараланған болады. ►

Мейли, функция көпликте берилген болсын.
Анықлама. Егер көпликте сондай точка табылса, ушын



теңсизлик орынланса, функция точкада ең үлкен (ең киши) мәниске ериседи делинеди ҳәм

көринисинде белгиленеди.

2-теорема. (Вейерштрасстың екинши теоремасы). Егер болса, бул функция сегментте ең үлкен ҳәмде ең киши мәнислерине ериседи, ямаса




болады.
◄ Мейли болсын. Вейерштрасстың 1-теоремасына
муўапық функция сегментте шегараланған, ямаса

шегараланған болады. Онда көпликтиң анық шегарасы ҳаққындағы теоремаға муўапық

бар болады.

Көпликтиң анық жоқарғы шегарасы анықламасына муўапық:

болады. Кейинги теңсизликте

деп алынатуғын болса,

избе-излик пайда болып, оның ушын

теңсизлик орынланады. Демек, де

болады. Бул қатнастан


(6)

келип шығады.

Жоқарыда пайда болған избе-излик шегараланған. Оннан жыйнақлы үлес избе-изликти ажыратыў мүмкин. Оны десек:


да .

Берилген функцияның үзликсизлигинен пайдаланып табамыз:

да

Буннан, избе-излик избе-изликтиң үлес избе-излиги.

Демек, (6) қатнасқа муўапық


да
болып, болыўы келип шығады. Тап усыған уқсас, функцияның ең киши мәниске ерисиўи көрсетиледи. ►