Funksiyalar uzluksizligi N’yuton-Leybnits formulasi

Yechish:
a)
x istalgan usul bilan nolga intilganda (63 a,b-chizmalar)

4. 
   63-chizma.
   

b)

5. 
   
   

1-Teorema. Chekli sondagi funksiyalar x₀ nuqtada uzluksiz bo‘lsa unda ularning yig‘indisi ham x₀ nuqtada uzluksiz bo‘ladi.
2-Teorema. Har qanday elementar funksiya o‘zi aniqlangan har bir nuqtada uzluksizdir. (Teoremalarni mustaqil isbotlash talabalarda topshiriladi).

6. 
   4.4.2. Uzluksiz funksiyalarning ba'zi xossalari.
   
7. 
   Xossalar quyidagi teoremalar bilan ifodalanadi.
   

1-Teorema. Agar y=f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo‘lsa, u holda [a;b] kesmada funksiya o'zining eng kichik va eng katta qiymatiga erishadi, ya’ni shunday nuqtalar mavjudki, barcha lar uchun va tengsizliklar o‘rinli bo‘ladi.
Funksiyani qiymatini y=f(x) funksiyaning [a,b] kesmadagi eng katta qiymati deb, ni esa eng kichik qiymati deb ataymiz. Bu teorema qisqacha bunday ifodalanadi. Kesmada uzluksiz funksiya hech bo‘lmaganda bir marta eng katta M qiymatga va eng kichik m qiymatga erishadi (64-chizma).

8. 
   
   
9. 
   
10. 
    64-chizma.
    
11. 
    
12. 
    
    
13. 
    65-chizma.
    

2-Teorema. Agar y=f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo‘lib, bu kesmaning uchlarida turli ishorali qiymatlarni qabul qilsa, u holda [a,b] kesmada hech bo‘lmaganda shunday bir x=c nuqta topiladiki, bu nuqtada funksiya nolga aylanadi f(c)=0; a(65-chizma).

14. 
    
    

66-chizma. 67-chizma.
Misol: funksiya berilgan. Bu funksiya [1,2] kesmada uzluksiz. Demak, bu kesmada nolga aylanadigan nuqta mavjud. Haqiqatan ham da y=0 (66-chizma).