Funksiyalarni Lagranj interpolyatsion formulasi yordamida approksimatsiyalash va egri chiziq yasash Reja

. Teng uzoqlashgan interpolyatsion tugunlar sistemasi uchun Lagranj formulasi. Interpolyatsion tugunlar orasidagi masofa h = x_t+1 - x_t = const o‘zgarmas bo‘lsin. U holda ixtiyoriy tugunni quyidagicha yozish mumkin:

xt = x0+t-h, i=0, n.

x - x₀ h

U holda
Yangi o‘zgaruvchi kiritamiz: t =

x - x_t = x₀ + th - x₀ - th = (t - t)h .

15. 
    ayirmani (11) tenglikka qo‘yib, quyidagini hosil qilamiz:
    

cd(x) = (x - x₀)(x - x )...(x - x_H) = th (t - 1)h...(t - n)h = t(t - 1)...(t - n)h
So‘ngra, xj - x_t = (x₀ + jh) - (x₀ + ih) = (j - i)h ekanligidan, (15) dan foydalanib, Lagranj formulasini hosil qilamiz:

n+1
(15)
^{n n} t _- i

(16)
^Ln^(x) = lLyj П—
j=0 i=0 ^{j -1}

1. 
   *^j
   

bunda t = ^{x x}°

f⁽ⁿ+^1}(Q
(n +1)!
h

15. 
    ning nazariy xatoligini aniqlash mumkin: R (x) = hⁿ+¹t (t -1).. .(t - n)
    

Misol. Jadval bilan berilgan y=f(x) funksiya qiymatini x=0,4 bo‘lgan hol uchun Lagranj interpolyatsion formulasidan foydalanib hisoblang:

i	0	1	2	3
xt	0	0,1	0,3	0,5
yt	-0,5	0	0,2	1

Yechilishi: (14) ga asosan ishchi formulani yozib olamiz:

x - x

n n

j
^{L( x)}=X у. п
i=0 j=0 ^xi ^{- x}j
j*.

Bizning holda n = 3 gacha, shu sababli:

x - x_}
^{L( x)} =X У г П
i=0 j=0 ^xi ^xj
j *^г
(x - x)(x - x₂)(x - x₃) (x - x₀)(x - x₂)(x - x₃)
^У0 (x0 - x1)(x0 - x₂)(x0 - x3) ^У1 (x1 - x0)(x1 - x₂)(x1 - x3)
, „ ^{(x - x}1^{)(x - x}0^{)(x - x}3⁾ , „ ^{(x - x}0^{)(x - x}1^{)(x - x}2⁾
+ ^y2 / \/ \/ 4 + ^y3
^(x2 ^{- x}0 ^)(x2 ^{- x}1 ^)(x2 ^{- x}3 ^{) (x}3 ^{- x}0 ^)(x3 ^{- x}1 ^)(x3 ^{- x}2 ⁾
=— x³ - 30x² + ⁹¹ x - 0,5;
3 12
x = 0,4 bo‘lganda y « L(x) = 0,3999.
Berilgan jadval asosida n=1 va x_T = 0,4 bo‘lgan hol uchun Lagranj
ko ‘ phadini tuzamiz:
rt \ ^ ^{x - x}j x - x₁ (x - x₀)
^L(x) = XУг П = У0 ^L + *7—4 =
i=0 j=0 ^xi ^{- x}j ^x0 ^{- x}1 ^(x1 ^{- x}0⁾
j*.
__ x - 0,5 . (x - 0,3) _ . _ _ _ . .
= 0,2 +1 = 5x —1,5 — x + 0,5 = 4 x — 1;

1. 
   3 - 0,5 (0,5 - 0,3)
   

Bu esa chiziqli interpolyatsion formula bilan ustma-ust tushadi. Berilgan jadval
asosida n=2 va x_T = 0,4 bo‘lgan hol uchun Lagranj ko‘phadini tuzamiz:

2. 
   2 x - x ■
   

У ~ ^L(x) = X Уг П
i=0 j=0 ^xi ^x j ^г * j
Qaralayotgan [x1, x3] intervalda x0 = 0,1; x1 = 0,3; x2 = 0,5;
У0 = 0; У1 = 0,2; y2 = 1
qiymatlarni olamiz. U holda 2—tartibli Lagranj interpolyatsion ko‘phadi hosil bo‘ladi:
(x - 0,1)( x - 0,5) „ (x - 0,1)( x - 0,3) „^₂ „
y « L(x) = 0,2 +1 = 7,5x -2x + 0,125^
(0,3 - 0,1)(0,3 - 0,5) (0,5 - 0,1)(0,5 - 0,3)
Bu tenglik kvadratik interpolyatsiya formulasi bilan bir xil.

14munosabatning nazariy xatoligini aniqlash mumkin: