Gauss formulasi Peterson va Kodatsi formulalari

Sirtning ichki geometriyasi. Gauss formulasi
Reja:

1. 
   Sirt ichki geometriyasining oboektlari
   
2. 
   Gauss egriligi ichki geometriyaning oboekti ekanligi
   
3. 
   Gauss formulasi
   
4. 
   Peterson va Kodatsi formulalari
   

Sirtning ichki geometriyasi sirt va unda yotuvchi figuralarning faqat egri chiziq uzunligiga bog`lik bo`lgan xossalarini o`rganuvchi bo`limdir.
Regulyar sirtlarga nisbatan shuni aytish mumkinki, ularning ichki geometriyasi faqat 1-kvadratik formaga bog`lik bo`lgan xossalarini o`rganadi. Shunday qilib, sirt ustidagi soxa yuzalari ichki geometriyaning oboektlaridan iborat.
Endi to`la egrilikni xam ichki geometriyaning oboektlaridan biri ekanini xam isbotlash mumkin, chunki uni faqat birinchi kvadratik formaning koeffsientlari orqali ifodalash mumkin.
Buning uchun

tenglikdagi LNM² ifodani birinchi kavdratik formaning koeffsientlari orqali ifodalashini kursatsak, yuqoridagi fikrimiz isbotlangan bo`ladi. Agar

tenglikdagi determinantlarni ko`paytirsak

bo`ladi.
Xuddi shuningdek

Bundan
(1)
tengliklarni u va v lar bo`yicha differentsiallab topilgan ifodalarni (1) da urniga quyib.

ni topamiz.
Oxirgi tenglik to`la egrilikni ichki geometriya oboekti ekanini isbotlaydi. (2) Formulani birinchi marta Gauss topgan. Shu sababli bu formulani Gauss formulasi deb yuritiladi.
Agar sirtning 1-kvadratik formasi ds<sup>2</sup>=du<sup>2</sup>+Gdv<sup>2</sup> kurinishda bo`ladigan qilib parametrlangan bo`lsa, u xolda to`la egrilik

kurinishda topiladi.
Gauss egriligining 1-kvadratik formaning koeffsientlari va ularning xosilalari orqali ifodalanishi, birinchi va ikkinchi kvadratik formalar orasida bog`lanish yo`q emasligini bildiradi. Tabiiy ravishda bu formalar orasida boshqa bog`lanishlar yo`qmi? ( degan savol tug`iladi. Ma‘lum bo`lishicha bunday bog`lanishlardan yana ikkitasi mavjud ekan, yani


Bu formulalar Peterson va Kodatsi tomonidan topilgan. Birinchi va ikkinchi kvadratik Formalar orasida boshqa bog`lanishlar mavjud emas.
Bu tasdiqning isboti quyidagi Bonne teoremasidan kelib chiqadi.
Bonne teoremasi. Aytaylik quyidagi
Edu<sup>2</sup>+2Fdudv+Gdv<sup>2</sup>, Ldu<sup>2</sup>+2mdudv+Ndv<sup>2</sup>
ifodalar ikkita ixtiyoriy kvadratik Formalar bo`lib, ulardan birinchisi musbat aniklangan bo`lsin. Agar bu kvadratik Formalarning koeffsientlari uchun Gauss - Peterson - Kodatsi bog`lanishi bajarilsa, u xolda fazodagi vaziyatiga qadar aniqlikda shunday yagona sirt mavjudki, u sirt uchun berilgan ifodalar mos xolda birinchi va ikkinchi kvadratik formalardan iborat bo`ladi.
Asosiy adabiyotlar:


1. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. М.,Наука,1990.
2. Нарманов А.Я. Дифференциал геометрия. Т. Университет, 2003
3. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. М.,1974.
4. Нарманов А.Я. ва бошқалар. Умумий топологиядан машқ ва масалалар тўплами. Т.Университет, 1996.
5. Сборник задач по дифференциальной геометрии. Под ред. Феденко А.С. М., 1979.
6.Бакельман И.Я., Вернер А.Л., Кантор Б.Е. Введение в дифференциальную геометрию в целом. М., Наука, 1973.
7. Собиров М.А., Юсупов А.Е. Дифференциал геометрия курси. Т., Ўқитувчи, 1965.