Гимназия №1 города Полярные Зори

Burilish nuqtalari


1° . Ta'rif Agar x = c nuqtaning ba'zi qo'shnilarida egri chiziq - differensiallanuvchi funktsiyaning grafigi y = f ( x ) - x = c nuqtaning chap va o'ng tomoniga qarama-qarshi yo'nalishdagi botiqlikka ega bo'lsa, u holda qiymati x = c burilish nuqtasi deyiladi.
M nuqtasi (la'nati), uning abssissasi x \u003d c, shuningdek, egilish nuqtasi deb ataladi, u egri konkavning yoyini yoy konkavidan pastga qarab ajratib turadi. Burilish nuqtasi faqat egri chiziq tangens bo'lgan nuqta bo'lishi mumkin. Burilish nuqtasiga yaqin joyda egri tangensning har ikki tomonida yotadi: uning ustida va pastda. E'tibor bering, u normalning har ikki tomonida ham joylashgan. Ammo P (jahannam) kabi nuqta, unda bitta tangens yo'q, burilish nuqtasi emas.
2° . Har xil yo'nalishdagi y \ u003d f ( x ) egri chizig'idan x \u003d egilish nuqtasining chap va o'ng tomonida joylashganligi sababli , ikkinchi hosila f "( x ) ning chap va o'ng tomonida turli xil belgilarga ega. nuqta x \u003d c yoki nolga teng.Ikkinchi hosila uzluksiz va x = c nuqtaning qo'shnisi deb faraz qilsak, u burilish nuqtasida nolga teng degan xulosaga kelamiz, ya'ni.
f ( c ) = 0.
3° . Bundan burilish nuqtalarini topish qoidasi kelib chiqadi:
1) bu funksiyaning ikkinchi hosilasini toping;
2) uni nolga tenglashtiring va hosil bo'lgan tenglamani yeching (yoki hosila son ma'nosini yo'qotadigan x qiymatlarini toping), olingan ildizlardan haqiqiy ildizlarni tanlang va ularni kichikdan kattagacha o'lchamiga qarab tartiblang;
3) olingan ildizlar bilan chegaralangan oraliqlardan har birida ikkinchi hosilaning belgisini aniqlash;
4) agar bu holda oʻrganilayotgan nuqta bilan chegaralangan ikkita oraliqda ikkinchi hosilaning belgilari boshqacha boʻlib chiqsa, u holda burilish nuqtasi mavjud, agar ular bir xil boʻlsa, unda burilish nuqtasi boʻlmaydi.
4°. Misollar. Burilish nuqtalarini toping va ­x egri chizig'idan yuqoriga va pastga bo'g'inlik oraliqlarini aniqlang:
1) y \ u003d l p x.
Yechish.Ikkinchi hosilani topamiz:
y'=1/x; y''= -1/x ² .
Har qanday qiymat uchun x \u003d (0 < x < + ∞ ) y " salbiydir. Bu logarifmning burilish nuqtalari yo'qligini va pastga botiq ekanligini anglatadi.
2) y \ u003d gunoh x .
Yechim. Biz ikkinchi hosilani topamiz:
y' = cos x, y'' = -sin x .
Faraz qilish - gunoh x = 0 bo'lsa, biz x = kp ekanligini topamiz , bu erda k - butun son.
Agar 0 < x < p bo'lsa, u holda gunoh x musbat va y '' manfiy, lekin agar p < x < 2 p bo'lsa, u holda gunoh x manfiy va y '' musbat va hokazo. Demak, sinusoidning burilish nuqtalari 0, p , 2 p ,...
Birinchi oraliqda 0 < x < p u konkav pastga, ikkinchisida - botiqlik va boshqalar.