Hosila va uning tatbiqlari

Nazorat savollari:
1. Funksiyaning x₁ nuqtadagi orttirmasi deb nimaga aytiladi?
2. Hosila tushunchasini izohlab bering?
3. Hosilaning fizik ma’nosini ayting?
4. Hosilaning geometrik ma’nosini ayting?


Foydalanilgan adabiyotlar:
1. R. H. Vafayev, J.H. Husanov, K.H. Fayziyev, Yu. Y. Hamroyev. „Algebra
va analiz asoslari“ . T. „O`qituvchi“ 2003 yil.
2. Sh. O. Alimov, Yu. M. Kolyagin, Yu.V. Sidorov, N. E. Fyodorova,
M. I. Shabunin „Algebra va analiz asoslari“ T. „O`qituvchi“ 2001 yil.
Mavzu: Hosilani toppish qoidalari.
Mashg`ulot turi: Amaliy.
Ajratilgan soat: 2 soat.
Qo`llaniladigan pedagogik texnalogiya: Zinama-zina.
REJA:
1. Differensiallashning asosiy qoidalari.
2. Murakkab funksiyaning hosilasi.
Tayanch iboralar: Differensial, hosila, funksiya, son, nisbat, urunma, moddiy
nuqta, orttirma, orgumen, murakkab.
Kerakli jihozlar: Plakatlar, tarqatma materiallar, test savollari, reting doskasi.
O`qituvchining maqsadi: O`quvchilarga hosilani toppish qoidalari va murakkab
funksiyaning hosilasini topishni o`rgatishdan iborat.
I-asosiy savol bayoni:
Differensiallashning asosiy qoidalari: Hosilani topish amalini differensiallash deyiladi. Differensiallashning asosiy qoidalari yig'indi (ayirma), ko'paytma va bo'linmaning hosilalarini qanday topish kerakligini ko'rsatadi.
Agar u = u(x), = (x) differensiallanuvchi funksiyalar bo’lsa. u holda ularning yig’indisi (ayirmasi), ko'paytmasi va bo'linmasining hosilalari mavjud bo'lib, ular quyidagi formulalar yordamida topiladi: .
(u + )' = u + ; (u - )' - u - ’ (1)
(u )' - u + u ’ (2)
(3)
Isbot. y(x) = u(x) + (x) yoki y=u+ belgilashni kiritamiz. x qiymatini tayinlab, unga ∆x orttirma beramiz. Bu orttirmaga funksiyaning ∆y = ∆u + ∆ orttirmasi mos keladi. Olingan tenglikni ∆x ga hadlab bo'lib, ∆x →0 da limitga o'tamiz.
; yoki y'=u'+ ’; (u+ )'=u’+ ' ekani kelib chiqadi. Ayirmaning hosilasi formulasi shunga o'xshash isbotlanadi.
ȥ(x) = u(x) ∙ (x) yoki ȥ= u bo'lsin. U holda ∆ȥ=(u+∆u)( +∆ ) -u = u∆ + ∆u∆ + ∆u∆ .
.
(Tayinlangan x ning qiymatida u(x) va v(x) lar o'zgarmas, u=u(x) differensiallanuvchi bo'lganligi uchun uzluksiz, shu sababli ) Shunday qilib, ȥ’ = u' + ’u yoki (u )' = u ’ + u' (2) formula isbotlandi.
Endi (3) formulani isbotlaymiz. belgilashni kiritamiz. U holda:
.
Oxirgi tenglikda ∆x → 0 va ekanini hisobga olgan holda surat va maxrajni ∆x ga hadlab bo'lib, limitga o'tsak, formula hosil bo'ladi. (1)-(3) formulalar differensiallashning asosiy qoidalarini ifodalaydi.
Agar u=u(x) differensiallanuvchi funksiya bo'lib, c o'zgarmas son bo'lsa, u holda
(cu)' = cu'. (4)
Bu formulani (2) formula va c’ = 0 dan foydalanib osongina isbotlash mumkin. Haqiqatan ham, (cu)'= c'u + u'c = 0 • u + cu' = cu'.
Bu formuladan o'zgarmas ko'paytuvchini hosila belgisidan tashqariga chiqarish mumkin, degan xulosaga kelinadi.
O'zaro teskari bo'lgan y=f(x) va x= (y) funksiyalarni qaraymiz. Faraz qilaylik, y = f'(x) differensiallanuvclii funksiya va y'_x ≠ O bo'lsin. x= (y) funksiya ham y argument bo'yicha hosilaga ega ekanini isbotlaymiz.
dan yoki ni hosil qilamiz.
Shunday qilib, o'zaro teskari funksiyalarning hosilalari yoki (5) formulalar bilan bog'langan.