I bob. Funksiyaning uzluksizligi

Teorema. Agar funksiya X oraliqda monoton bo’lib, uning qiymatlari biror Y oraliqdan iborat bo’lsa, u holda funksiya X oraliqda uzluksiz bo’ladi.
Isbot. funksiya X oraliqda o’suvchi bo’lsin. Faraz qilaylik funksiya biror X nuqtada uzilishga ega bo’lsin. U holda yuqoridagi teoremaga binoan bo’lib, to’plamdagi sonlarning hech biri funksiyaning qiymati bo’lmaydi, ya’ni funksiya qiymatlari Y oraliqdan iborat bo’lmaydi. Teorema isbotlandi.
Elementar funksiyalarning uzluksizligi.
1) Butun va kasr ratsional funksiyalar. O’zgarmas miqdorga yoki ning o’ziga keltiradigan funksiyalarning uzluksizligi bevosita aniqdir. Istalgan bir hadli

ifoda uzluksiz funksiyalarning ko’paytmasi sifati uzluksizdir, so’ngra ko’phad (butun ratsional funksiya)

ham uzluksiz funksiyalarning yig’indisi sifatida uzluksizdir. Hamma eslatilganhollardagi uzluksizlik oraliqning hamma nuqtalarida bajarilgan. Nihoyat, ikki ko’phadning

nisbati, mahrajini nolga aylantiradigan qiymatlardan boshqa, ning hamma qiymatlarida uzluksizligi aniqdir.
2). ko’rsatkichli funksiya argument oraliqda o’zgarganda monoton o’sadi. Uning qiymatlari musbat va oraliqni to’ldiradi; bu ixtiyoriy uchun logarifmning mavjudligidan ko’rinadi. Demak, funksiya ning ixtiyoriy qiymatida uzluksizdir.
3). logarifmik funksiya. Biz hol bilan cheklanib, bu funksiya x argument oraliqda o’zgarganda o’sganini ko’ramiz. Shu bilan birga u oraliqdagi ixtiyoriy qiymatni qabul qiladi. bu ga mos kelgan funsiyalarning qiymatidir. Bundan uning uzluksizligi kelib chiqadi.
4). darajali funksiya. 0 dan gacha o’sganda, agar bo’lsa o’sadi va agar bo’lsa kamayadi. Shu bilan birga u ixtiyoriy musbat qiymatlarni qabul qiladi, demak uzluksizdir.
5). Trigonometrik funksiyalar:
.
Avvalo funksiya ustida to’xtaylik. o’zgaruvchi oraliqda o’zgarganda funksiyaning uzluksizligi uning shu oraliqda monotonligidan hamda -1 bilan 1 orasidagi har bir qiymatni qabul etishidan kelib chiqadi. Shunga o’xshash,

ko’rinishdagi ixtiyoriy oraliq haqida ham yuqoridagini aytish mumkin. Demak, ning hamma qiymatlarida funksiya uzluksizdir. Shunga o’xshash, ning hamma qiymatlarida funksiyaning uzluksizligini ham ko’rsatish mumkin.
Bundan, avvalgi teoremaga muvofiq
, , ,
funksiyalarning uzluksizligi kelib chiqadi. Birinchi ikkitasi uchun ni nolga aylantiruvchi ko’rinishdagi qiymatlar, oxirgi ikkitasi uchun esa ni nolga aylantiruvchi ko’rinishidagi qiymatlar mustasnodir.
6). Teskari trigonometrik funksiyalar
ni eslaib o’taylik.
Birinchi ikkitasi oraliqda oxirgilari esa oraliqda uzluksizdir. Shunday qilib, asosiy elementar funksiyalar, ular ma’noga ega bo’lgan
amma nuqtalarda, ya’ni mos tabiiy aniqlanish sohalarida uzluksiz ekan.