I bob. Funksiyaning uzluksizligi

Teorema. (Bolsano-Koshining birinchi teoremasi). Agar funksiya segmentda uzluksiz bo’lib, kesmaning chetki nuqtalarida qarama-qarshi ishorali qiymatlarga ega bo’lsa, u holda f(c)=0 tenglikni qanoatlantiradigan c (a
Isbot. f(a)>0, f(b)<0 bo’lsin, ni teng ikki [ ] va [ ] qismga bo’lamiz.
Agar bo’lsa, teorema isbot qilingan bo’ladi. bo’lsin, u holda bo’lakchalarning birining uchlarida funksiya qarama-qarshi ishorali qiymatlarga ega bo’ladi. Usha kesmani orqali belgilaymiz. bo’ladi. Endi ni teng ikkiga bo’lamiz va yuqoridagi mulohazani ga nisbatan takrorlaymiz va hakoza. Umuman quyidagi ikki holdan biri yuz beradi:
1) biror nuqtada f(x) funksiya 0 ga teng bo’ladi, yoki
2) Barcha n uchun f( )0 bo’lib, bu jarayon cheksiz davom etadi.
Bunda 1) holda teorema isbot qilingan bo’ladi;
2) holda esa ichma-ich joylashgan segmentlar ketma-ketligi hosil bo’ladi. Bunda

bo’ladi. Ichma-ich joylashgan segmentlar haqidagi teoremaga binoan
,
f(x) funksiya uzluksiz bo’lgani uchun

bo’ladi. Bulardan kelib chiqadi.
Bu teoremadan tenglamalarning yechimi mavjudligini ko’rsatishda foydalanish mumkin.
Misol. tenglamaning segmentda yechimga ega ekanligini ko’rsating.
deb olsak, bo’ladi. f(x) funksiya segmentda uzluksiz bo’lganligidan yuqoridagi teoremaga binoan birorta son topilib, bo’ladi.


2.2-§. Uzluksiz funksiyaning oraliq qiymatlari haqidagi teorema


Teorema. (Bolsano-Koshining ikkinchi teoremasi)Agar funksiya segmentda uzluksiz bo’lib,

bo’lsa, u holda ni qanoatlantiruvchi har qanday C son uchun shunday son topilib, bo’ladi.
Isbot. Yordamchi funksiyani olamiz. Bolsano-Koshining birinchi teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. Haqiqatan,
1) funksiya [a;b] da uzluksiz, chunki funksiya da uzluksizdir.
2) .
Shuning uchun (a;b) da shunday c nuqta topiladiki, , yoki , ya’ni bo’ladi.
Shunday qilib, oraliqda uzluksiz bo’lgan funksiyaning muhim xossasini topildi, funksiya o’zining bir qiymatidan ikkinchisiga o’tishda, bu qiymatlar orasidagi har bir qiymatdan hech bo`lmaganda bir marta o`tadi. Birinchi qarashda,
bu xossa funksiya uzluksizligining asosiy mohiyatini ochadiganga o`xshab ko`rinadi. Biroq, bu xossaga ega bo’ladigan uzlukli funksiyalarni yasash osondir.
Masalan,
,
funksiya uzilish nuqtasini o’z ichiga olgan ixtiyoriy oraliqda, umuman,uning uchun mumkin bo’lgan -1 dan +1 ga qadar hamma qiymatlarni qabul qiladi.
Demak, da uzluksiz bo’lgan funksiya o’zining ikki qiymati orasidagi barcha qiymatlarni qabul qiladi.
Natija. Agar funksiya qandaydir oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo’lsa, u holda funksiya qabul etadigan qiymatlani birorta oraliqni tutash to’ldiradi.
Funksiya qiymatlarining to’plamini deb belgilaylik.
,
va orasida yotuvchi son bo’lsin: .
Funksiyaning va ( va lar ) shunday qiymatlari topilishi zarurki,

bo’lsin.
Bu sonlar to’plamining aniq chegaralari haqidagi ta’rifning o’zidan kelib chiqadi. Lekin, isbotlangan teorema bo’yicha va orasida shunday qiymat ( da yotuvchi) mavjudki, bunda xuddi ga bo’ladi, demak, bu son to’plamga kiradi.