I гильбертово пространство

Часть I
Гильбертово пространство
Глава 2
Скалярное произведение функций.
Норма, метрика
Сначала несколько слов о применяемых обозначениях.
Символом G будем всюду обозначать Л/-мерную область, т. е. открытое связное множество евклидова пространства E_N. Мы будем рассматривать только ограниченные области с так называ­емой липшицевой границей. Определение этого понятия достаточно сложно и на первых порах вызвало бы у читателя излишние трудности. Поэтому оно отложено до гл. 28. Здесь мы отметим только, что это определение обладает достаточной общностью, чтобы охватывать области, чаще всего встречающиеся в инженер­ных приложениях, по крайней мере когда речь идет о решении краевых задач для дифференциальных уравнений эллиптического типа. Например, к этому классу принадлежит плоская область с гладкой или кусочно-гладкой границей, не имеющей точек возвра­та; в трехмерном пространстве—это области с гладкой или ку­сочно-гладкой границей, не имеющей сингулярностей, соответст­вующих в некотором смысле точкам возврата плоских кривых (ребер возврата и т. п.). Примерами плоских и пространственных областей (при N = 2, N = 3) с липшицевой границей служат круги, кольца, квадраты, треугольники, шары, кубы и т.д. Для N = 1 такой областью будет интервал. Всякий раз, когда рассматрива­ется более чем одна область, будем использовать для их различе­ния нижние индексы: G_lt G₂ и т. д.
Границу области G обозначим Г (или Г_и Г₂...—для областей Gj, G₂. Замыкание области G в E_N, т. е. множество G + Г, обозначим G. Вместо «замыкание области в E_N» будем просто говорить «замкнутая область».
Координаты точки * из E_N обозначаются через x_lt ... , x_N. Тогда вместо^ ... ^и (x_t ... x_N)dx_l ... dx_N пишем ^ и (x)dx.
^а а
ь
Разумеется, при N= 1 записываем J u(x)dx. Вместо х_г, х₂ или
а
x_v х_г, x_s на плоскости или в трехмерном пространстве, как обыч­но, используем обозначения х, у или у, г.
Перейдем к исследованию функций, заданных на выбранной области G, в том числе к определению скалярного произведения двух функций. Всюду в книге (если не будет явно оговорено про­тивное) будем считать функции вещественными; все постоянные, которые будут встречаться в тексте, главным образом в опреде­лениях, предполагаются также вещественными.
Определение 2.1. Множество М, элементы которого являются функциями ¹), заданными на некотором определенном множестве S, называется линеалом, если вместе с функциями ы, (х), и₂ (х) из М функция
а, и, (х) + а₂ и₂ (х), (2.1)
где а_и а₂—произвольные вещественные постоянные, также принад­лежит М. Здесь сумма двух функций и произведение функции на число понимаются в обычном смысле, известном из классичес­кого анализа.
В частности, если и_Л£М, то (что вытекает из (2.1)
при а₂ = 0), и если и_х €М, и₂£М, то их сумма также принадле­жит М (что вытекает из (2.1) при с, = 1, а₂= 1).
Пример 2.1. Обозначим через L множество всех функций, не­прерывных в замкнутой области G с определенными обычным об­разом суммой двух функций и произведением функции на чигло. Тогда L—линеал, ибо хорошо известно, что если м, (х) и и₂(х) — две непрерывные в G функции, принадлежащие L, то функция й,и, (х)-\-а₂и₂(х) также непрерывна в G и, следовательно, принад­лежит L.
Из определения 2.1 следует (читатель легко может проверить законность этого утверждения), что если М—линеал, то вместе с п функциями и^х), ... , и_п(х) их произвольная линейная ком­бинация Cj»! (х) -f ... -f а_пи_п(х) также принадлежит М.
Пример 2.2. Пусть L, определенное в примере 2.1, является множеством всех функций и(х), таких что |и(х)|^7 для всех х £G. Обозначим это новое множество L. Множество L—не лине­ал, так как не верно, что для каждого u£L и для каждого числа а выполнено au(x)^L. Например, функция и(х) = 4 в G (постоян­ная в G функция) принадлежит L, так как она непрерывна в G и выполняется условие | и (х) | ^ 7. Однако функция 2и (х) не принадлежит L, так как 2и (х) = 8 и, следовательно, 12 и (х) | > 7.
Рассмотрим теперь линеал L (пример 2.1). Для двух произ­вольных функций u^L, v g L определим скалярное произведение.
^х) Здесь для наглядности рассматривается частный случай, в определении линеала элементы заданного множества не обязательно являютси функциими.

Определение 2.2. Под скалярным произведением функций и и v из L понимаем интеграл, обозначаемый (и, v):
(и, v)=^ и (я) v (я) dx. (2.2)
в
Следовательно, скалярное произведение двух функций из L есть вещественное число, определяемое значением интеграла (2.2).
Пример 2.3. Пусть G представляет собой квадрат 0^л:<1, ^и пусть и (х, у) = х² + у², v(x,y)?s= 2. Тогда 1 1
(и, v) = J J (х² +у²)- 2 dxdy = 4/3.
О О
Свойства скалярного произведения, которые будут рассмотрены в теореме 2.1, непосредственно вытекают из некоторых известных свойств интеграла.
Теорема 2.1. Для скалярного произведения, введенного опреде­лением 2.2, имеем (и, v, u_lt и₂—произвольные функции из L, а_г, а₂—произвольные вещественные числа):

F i/ г 6

Соотношение (2.3) означает симметрию скалярного произведе­ния, (2.4)—его аддитивность и однородность. Соотношения (2.5) и (2.6) утверждают, что скалярное произведение и(х) на себя всегда неотрицательно и равно нулю тогда и только тогда, когда и (х) = 0.
Доказательство теоремы 2.1 следующее. Свойство (2.3) следует из равенства
^ и (x)v (я) dx = J v (х) и (х) dx, а о

4. 
   —из равенства
   

J [а₁и₁ (х) + а₂и₂ (*)] v (я) dx — а_у $ и_t (х) v(x)dx + a_i^u_i (я) v(x)dx. в в в
Далее имеем