I гильбертово пространство

Го V о
= =г^Р, (2.28)
_ГДе P=^dx есть «-мерный объем области G. Однако из того,
в
что р (и, v) мало, вовсе не следует, что разность | и—у| также мала всюду в G. Для примера рассмотрим две функции
j
и (х)
ЮьтЮООлл: при 0 х 0.001,
\ 0 при 0.001 :1,
у (х) = 0 при 0^х^ 1.

Функция и (х), непрерывная на интервале [0, 1], показана на рис. 3. Из (2.19) и (2.20) имеем

р (и, у) = 1 и (х) - v (х) I = у \ I^й W—^у (*)Р dx =
/'o.ooi
J 100 sinMOOOnxdx = |Л).05« 0.224.
о
Расстояние в смысле определения 2.4 между функциями и и и мало, в то время как разность значений функций в точке * = 0.0005 равна десяти: р_с (и, v) =10.
Если вместо первоначальной рассматривается функция
/ / Ю sin ЮООООях при 0 ^и(^х>- \ о при 0.00001 <*<1,
то получим р (и, v)« 0.0224, хотя разность значений этих функ­ций в точке х = 0.000005 также будет равна десяти. При доста­точном укорачивании интервала, на котором функция и описан­ного выше типа отлична от нуля, и при соответствующем увели­чении частоты синусоидальной функции, отношение максимально­го значения \ и.(х)—v(x)\ к расстоянию р(и, v) между функциями и и v можно сделать как угодно большим.
Остается непонятным, почему мы ввели на линеале метрику

19. 
    , тогда как метрика (2.27) в определенной степени более естественна. А именно, мы показали, что как бы мало ни отли­чались функции и и у всюду в G, расстояние по метрике (2.27) также мало, и наоборот. Несмотря на это, мы будем пользовать­ся во всей книге исключительно метрикой (2.19) или метриками, сводящимися к ней. Существуют два принципиальных мотива, ле­жащие в основе этого решения. Во-первых, метрика (2.19) осно­вана на норме (2.10), которая в свою очередь порождается ска­лярным произведением (2.2). Скалярное произведение в различ­ных формах играет в настоящей книге роль фундаментального понятия, и для нас важно иметь возможность работы с метрика­ми, порождаемыми определенными скалярными произведениями (например, произведением, обладающим свойствами (2.3) — (2.6)). Определить же скалярное произведение с «разумными» свойствами в пространстве С, которое порождало бы метрику (2.27), не представ­ляется возможным (см., например, [24]). Это первая причина, по которой было отдано предпочтение метрике (2.19). Во-вторых, в последующем мы встретимся с несколькими задачами как теоре­тического, так и прикладного характера, при решении которых нельзя будет ограничиться работой только с непрерывными функ­циями. Расширить соответствующим образом метрику (2.27) на класс функций, более общий, чем класс непрерывных функций, довольно сложно, в то время как расширение метрики (2.19) на достаточно общий класс функций довольно просто и естественным образом ведет к понятию пространства L₂. Сейчас мы приступим к осуществлению этого обобщения. Позднее метрика (2.19) приго­дится нам при построении некоторых более общих пространств.