Исследования

Критерий ранговых сумм Вилкоксона. Этот кри-
терий применяется в тех же ситуациях, что и крите-
рий Манна —Уитни, когда необходимо сравнить две
независимые выборки метрических или порядковых
данных, распределения которых непрерывны, но яв-
ляются неизвестными.
Пусть даны, две выборки: х\,
объемом m
и
объемом п. Распределение случайной
величины X равняется
а
величины
Y— G(y). Из непрерывности выборок с вероятностью
1 следует, что в них нет повторяющихся чисел. Встре-
чающиеся на практике совпадающие значения эле-
ментов выборок являются результатом ограниченной
точности измерения.
Необходимо проверить нулевую гипотезу
F = G.
В качестве альтернативной гипотезы
может высту-
пать одно из трех предположений.
Во-первых, F>G — правосторонняя альтернатива.
означает,
для любого выполняется: F(z)>G(z),
т. е. для любого z справедливо: P(XP(Yчает, что случайная величина X имеет тенденцию при-
нимать меньшие значения по сравнению со случайной
величиной
т. е. Xстрого,
Во-вторых, F левосторонняя альтернатива.
Fлюбого z выполняется: F(z)т. е. для любого z справедливо: P(Xначает, что случайная величина X имеет тенденцию
принимать большие значения по сравнению со случай-
ной величиной Y, т. е. X>Y, или, что то же самое, но
более строго,
В-третьих, F G — двусторонняя альтернатива. Это
объединение требований FG.
Для проверки
рассчитывается статистика Вил-
коксона по формуле:

---

Математические методы в психологии
где
— ранг
полученный при совместной ран-
жировке обеих выборок х и у.
Если несколько элементов выборок совпадают меж-
ду собой (в силу неточности измерений), то эту группу
называют связкой и всем им присваивается средний
ранг. Например, ранжируем б элементов: 4, 7, 7, 7, 7,
12. Тогда 4 соответствует ранг 1, 7, этот элемент обра-
связку, —
равный (2 + 5)/2 = 3.5, 12 — рангб.
Т. е. указанной выборке соответствует набор рангов 1,
3.5, 3.5, 3.5, 3.5, 6.
Минимальное значение статистики Вилкоксона
= n(n+ l)/2, максимальное значение
=
+
n(n+ l)/2, среднее значение
= n(m + n+ l)/2. Оче-
видно, если W несильно отклоняется от своего средне-
го значения, подтверждается
Если W ближе к
своему минимальному значению, подтверждается
левосторонняя альтернатива, если W ближе к сво-
ему максимальному значению, подтверждается право-
сторонняя альтернатива. Значимость отклонения ста-
тистики W от своего среднего значения в ту или иную
сторону можно оценить, зная ее распределение.
Распределение статистики W не зависит от рас-
пределений F и G. Оно определяется лишь значениями
Для этого распределения составлены таблицы
(Холлендер М., Вульф Д., 1983, с. 283).
Для отклонения
против правосторонней альтерна-
тивы (Xния должны быть неправдоподобно большими, т. е. они
должны удовлетворять соотношению:
где
граница
критической области. Значе-
ние
отыскивается по таблице распределения ста-
тистики Вилкоксона (Холлендер М., Вульф Д., 1983, с. 283)
для выбранного а и заданных
Если вычисленная по
формуле
величина статистики
призна-
ется справедливость правосторонней альтернативы.
Для отклонения
против левосторонней аль-
тернативы (X>Y) на уровне значимости а критичес-
кие значения W должны быть неправдоподобно ма-

---

Глава 4
т. е. они должны удовлетворять соотношению:
P(Wгде n(m +
—
величина границы левой критической области. Та-
кое значение границы вытекает из симметричности
распределения статистики W относительно своего
среднего n(m +
l)/2. Если вычисленная по формуле
(3.4.2.1) величина
Wпризнается справедливость левосторонней альтернативы.
Для отклонения
против двусторонней альтер-
нативы на уровне значимости а критические значения
статистики W должны удовлетворять соотношению:
или P(WДругими словами, критическая область значений W для
двусторонней альтернативы представляет собой объеди-
нение критических областей для лево- и правосторонних
альтернатив, каждая из которых вычисляется для уровня
значимости а/2. Если вычисленная по формуле (3.4.2.1)
статистика W+ -Wa/2,
n или
отвергается и признается справедливость двусторонней
Если значения
велики и выходят за преде-
лы таблицы, используют иную формулу для расчета
статистики:
где MW n(n + m+ l)/2 — математическое ожида-
ние статистики W, а DW = mn(m +
? ее дис-
персия. При наличии связок
172
где к — число таких связок с участием у, j — номер
связки с участием у, — размер связки с участием у.
Если связок много или они велики по размеру, приме-
нение критерия Вилкоксона становится сомнительным.

---