|
Yechim. predikatning ko’rsatilgan qiymati uchun : «har qanday natural son uchun shunday natural son topiladiki, u dan katta bo’ladi” degan chin mulohazani bildiradi. Shu vaqtning o’zida : «Shunday natural son mavjudki, u har qanday natural son dan kichik bo’ladi” degan tasdiqni bildiradi. Bu tasdiq yolg’ondir. Demak, berilgan formulaning mantiqiy qiymati yolg’on bo’ladi.
3.3. Predikatlar mantiqining tengkuchli formulalari
Predikatlar mantiqida ham tengkuchli formulalar tushunchasi mavjud.
1-ta’rif. Predikatlar mantiqining ikkita va formulalari o’z tarkibiga kiruvchi sohaga oid hamma o’zgaruvchilarning qiymatlarida bir xil mantiqiy qiymat qabul qilsalar, ular sohada tengkuchli formulalar deb aytiladi.
2-ta’rif. Agar ixtiyoriy sohada va formulalar tengkuchli bo’lsalar, u holda ular tengkuchli formulalar deb aytiladi va ko’rinishda yoziladi.
Agar mulohazalar algebrasidagi hamma tengkuchli formulalar ifodasidagi o’zgaruvchi mulohazalar o’rniga predikatlar mantiqidagi formulalar qo’yilsa, u holda ular predikatlar mantiqining tengkuchli formulalariga aylanadi. Ammo, predikatlar mantiqi ham o’ziga xos asosiy tengkuchli formulalarga ega. Bu tengkuchli formulalarning asosiylarini ko’rib o’taylik. va - o’zgaruvchi predikatlar va - o’zgaruvchi mulohaza bo’lsin. U holda predikatlar mantiqida quyidagi asosiy tengkuchli formulalar mavjud:
1. ,
2. ,
3. ,
4. ,
5. ,
6. ,
7. ,
8. ,
9. ,
10. ,
11. ,
12. ,
13. ,
14. ,
15. ,
16. ,
17. .
Bu tengkuchli formulalarning ayrimlarini isbot qilaylik.
Birinchi tengkuchli formula quyidagi oddiy tasdiqni (dalilni) bildiradi: agar hamma lar uchun chin bo’lmasa, u holda shunday topiladiki, chin bo’ladi.
2-tengkuchlilik: agar chin bo’ladigan mavjud bo’lmasa, u holda hamma lar uchun chin bo’ladi degan mulohazani bildiradi.
3 va 4 – tengkuchliliklar 1 va 2 – tengkuchliliklarning ikkala tarafidan mos ravishda inkor olib va ikki marta inkor qonunini foydalanish natijasida hosil bo’ladi.
5-tengkuchlilikni isbot qilaylik. Agar va predikatlar bir vaqtda aynan chin bo’lsalar, u holda predikat ham aynan chin bo’ladi va demak,
, ,
mulohazalar ham chin qiymat qabul qiladilar.
Shunday qilib, bu holda 5-tengkuchlilikning ikkala tarafi ham «chin» qiymat qabul qiladilar.
Endi hyech bo’lmaganda ikki predikatdan birortasi, masalan, aynan chin bo’lmasin. U holda predikat ham aynan chin bo’lmaydi va demak, , , mulohazalar yolg’on qiymat qabul qiladilar, ya’ni bu holda ham 5-tengkuchlilikning ikki tarafi bir xil (yolg’on) qiymat qabul qiladilar. Demak, 5-tengkuchlilikning to’g’ri ekanligi isbotlandi.
Endi 8-tengkuchlilikning to’g’ri ekanligini isbot qilaylik. Œzgaruvchi mulohaza «yolg’on» qiymat qabul qilsin. U holda predikat aynan chin bo’ladi va , mulohazalar chin bo’ladilar. Demak, bu holda 8-tengkuchlilikning ikkala tarafi ham bir xil (chin) qiymat qabul qiladilar.
Endi o’zgaruvchi mulohaza «chin» qiymat qabul qilsin. Agar bu holda o’zgaruvchi predikat aynan chin bo’lsa, u vaqtda predikat ham aynan chin bo’ladi va demak,
, ,
mulohazalar ham chin qiymat qabul qiladilar, ya’ni bu holda 8-tengkuchliliklarning ikkala tarafi ham bir xil (chin) qiymat qabul qiladilar.
Agar predikat aynan chin bo’lmasa, u holda predikat ham aynan chin bo’lmaydi va demak,
, ,
mulohazalar yolg’on qiymat qabul qiladilar.
Shunday qilib, bu holda ham 8-tengkuchliliklarning ikkala tarafi bir xil (yolg’on) qiymat qabul qiladilar. Demak, 8-tengkuchlilik o’rinlidir.
Shuni ta’kidlab o’tamizki, formula formulaga va formula formulaga tengkuchli emaslar.
Ammo, quyidagi tengkuchliliklar o’rinlidir:
,
.
Bu tengkuchliliklardan birinchisini isbot qilaylik. Buning uchun kvantor diz’yunksiya amaliga nisbatan distributiv emasligini misolda ko’rsataylik.
, :« »,
: « »
bo’lsin.
Aniqki, sohada va mulohazalar yolg’on va demak, bu tengkuchlilikning chap tomonidagi mulohaza ham yolg’ondir. Agar kvantor ga nisbatan distributiv, ya’ni
bo’lganda edi, chin mulohaza bo’lganligi uchun qarama-qarshilik hosil bo’lardi.
Demak, bo’ladi.
Endi bu tengkuchliliklarning o’ng tomoni har doim chap tomonidagi mulohaza bilan bir xil qiymat qabul qilishini ko’rsatamiz.
Agar yoki bo’lsa, u holda bu tengkuchlilik to’g’ri ekanligi aniq, chunki bu holda tengkuchlilikning ikkala tomoni ham bir vaqtda chin qiymat qabul qiladilar. Bu holda faqat ekanligini ko’rsatish kifoya. Ammo bu oxirgi tengkuchlilik tabiiydir, chunki predmet o’zgaruvchi ham, predmet o’zgaruvchi ham sohaning har bir elementini qiymat sifatida qabul qiladi.
Endi va bo’lsin. U holda tengkuchlilikning chap tarafi 0 (yolg’on) qiymat qabul qiladi. Œng tomonida kvantorning ta’sir sohasi formula bo’lsada, predikatda predmet o’zgaruvchi qatnashmaganligi sababli, ning ta’siri faqat ga tarqaladi. Xuddi shunday, kvantor faqat ga ta’sir etadi. Demak, formula ham yolg’on qiymatga ega bo’ladi.
Keltirilgan ikkinchi tengkuchlilikni ham xuddi shunday isbot qilish mumkin va buni o’quvchiga havola etamiz.
Do'stlaringiz bilan baham: |
