Ызбекистон Республикаси Олий ва ырта махсус

35. 36.
37. 38.
39.
40. Етарлича катта ларда =айси ифода катта
а) ми ёки ми? ж: Иккинчиси
б) ми ёки ми? ж: биринчиси
в) ми ёки ми? ж: иккинчиси
41. эканлигини исботланг.
42. кетма-кетлик га интилувчи, кетма-кетлик эса интилувчи кетма-кетлик былсин былса, эканлигини исботланг. Исбот: га интилувчи ихтиёрий бутун сонлар кетма-кетлиги былсин, у щолда учун шундай мавжуд былиб, былади былади. Бу эса деганидир. Агар кетма кетлик га интилса , у щолда шундай бутун сонлар кетма-кетлиги мавжудки ва былади. Ушбу ты\рилиги кыриниб турган тенгсизликдан эканлиги келиб чи=ди. Энди былсин. десак
43. эканлигини билган щолда эканлигини исботлаб. Булардан ва ни ани=ликда щисобланг.
Ечиш:
Бу тенгсизликда да лимитга ытсак ни хар =андай да ты\рилиги келиб чи=ади. тыпламнинг энг катта лимити йы=лиги учун былади. былади. Иккинчи томондан . Шундай =илиб ва келиб чи=ади.

Муста+ил ишлаш учун:

44. ни иррационаллигини исботланг.

45. тенгсизликни ани=ланг.
46. а) б)
тенгсизликларни ани=ланг.
47. эканлигини ани=ланг.
Исбот:
тенгсизликдан ёки келиб чи=ади.
Бундан . Энди былса, да десак да ва деб нинг бутун =исмини белгилаймиз. . Бунга кыра ва былади. Демак, бундан .
кетма кетлик я=инлашувчи кетма кетликни =исмий кетма-кетлигидир. Шунинг учун былади.
агар былса у щолда да десак былса былади.
Монотан кетма-кетликнинг лимити мавжудлигидан фойдаланиб 44-48 мисоллардаги кетма-кетликларни я=инлашишини исботланг.
44. бу ерда лар дан бошлаб 0 дан 9 гача былган наткрал сонлардир.
Ечиш: кетма-кетлик камаймовчидир, чунки ва ю=оридан чегаралангандир, чунки шунинг учун у я=инлашувчи.
45. бунинг усувчилиги дан келиб чи=ади. Чегараланганлиги эса
шунинг учун я=инлашувчидир.

Муста+ил ишлаш учун:

46.

47.
48.
49-52. Коши критериясидан фойдаланиб берилган кетма-кетликларни я=инлашини исботланг.
49.
Исбот: берилган былсин, у щолда
. да былади. Демак, кетма-кетлик я=инлашувчидир.
50.
Исбот: берилган былсин.
демак ва да бажарилди. Демак кетма-кетлик я=инлашувчи.

Муста+ил ишлаш учун:

51. бу ерда

52. .
53. кетма-кетликни Коши критейриси быйича узо=лашишини исботланг.
54-56. кетма-кетликнинг энг катта элементини, 57-58 да эса энг кичик элементини топинг.
54. Ечиш: бундан келиб чи=ади. да тенглик бажарилди, демак

Муста+ил ишлаш учун:

55. ж:

56. ж:
57.
58. .
59-60. Берилган кетма-кетликни ва ларни топинг.
59. Ечиш: ва камаювчи ысувчи шунинг учун
Муста=ил ишлаш учун:
60. ж:
61. ж:
62. ж:
63. ж: -4;6;-4;6.
64. ж:
65. ж:
66. ж:
67. ж:
68. ж:
69. ж:
70-74. ва ларни топинг.
70. Ечиш: ва кетма-кетликлар я=инлашувчидир. У холда

Муста+ил ишлаш учун:

71. ж:

72. ж: 73. ж:
74. ж: 75-79. Берилган кетма-кетликларнинг лимит ну=таларини яъни =исмий лимитларини топинг:
75.
Ечиш: бундан иккита ва я=инлашувчи =исмий кетма-кетликларни тузамиз:
Уларнинг лимитлари ва былади. Бундан бош=а лимит ну=талар йы=лигини кыриш =ийин эмас.
76.

Ечиш: Бу кетма-кетликнинг элементлари ва я=инлашувчи лимит кетма кетликлар былиб дир. Ж:
Муста=ил ишлаш учун:
77. 78.
79.
80. +исмий лимитлари (лимит ну=талари) былган кетма-кетликга мисол келтиринг.
81. Ызининг барча элементлари =исмитй лимити былган кетма-кетликга мисол келтиринг.
82. +уйидаги кетма-кетликларга мисол келтиринг:
а) чекли =исмий лимитга эга былмаган.
б) я=инлашувчи былмаган лекин 1 тагини чекли =исмий лимитга эга былган.
в) чексиз кып =исмий лимитга эга.
г) ызининг =исмий лимити барча ха=и=ий сонлардан иборат былган.
83-86. Тенгсизликларнинг исботланг ва катъий тенгсизлик быладиган щолларга мисол келтиринг.
83.
Исбот: агар кетма-кетликни бирор =исмий кетма-кетлик ажратиб олсак, у щолда былади. Кетма-кетликнинг =уйидаги лимити унинг лимит ну=таси былгани учун ю=оридагига =ыра кетма кетлик я=инлашувчи кетлма-кетликнинг =исмий кетма-кетлиги былгани бундан таш=ари я=инлашади. У холда щам я=инлашади, шунинг учун ю=оридагилардан
тенгсиз, лекин чап =исми исботланди. Ю=оридаги ва тенгликдан бундан келиб чи=ади. Бу эса тенгсизликнинг томонидир. Тенгсизлик =атъий былишига мисол келтирамиз. , .
Бу щолда ва былади.

Муста+ил ишлаш учун:

84.

85.
86.
87. Теплица теоремаси:
1)
2)
3) Хар бир фиксирланган да
4) былса, у щолда я=инлашувчи ва былади.
Исбот: 4) шартга кыра да былади. Бундан эса келиб чи=ади.
3) шартдан эса былади.
Булардан 1, 2 шартларга




. Демак теорема исботланди.
88. Агар кетма-кетлик я=инлашувчи былса, у щолда уларнинг ырта арифметигининг кетма-кетлиги щам я=инлашувчи былади ва былишини исботланг.
Исбот: Агар демак ва 87 мисолдаги Теплица теоремасининг барча шартлари бажарилади ва былади. Бунга кыра мисол исботланди.
89. былиб, я=инлашувчи булса, у щолда щам я=инлашувчи ва былади.
Исбот: десак Теплица теоремасининг барча шартлари бажарилади ва десак . Мисол исботланди.
Агар кетма-кетлик я=инлашса ва былса эканлигини исботланг. Буни исботлаш учун бизга =уйидаги иккита формула керак былади.
I.
яъни номанфий сонларнинг ырта арифметиги уларнинг ырта геометригидан кичик эмас.
II.
яъни мусбат сонларнинг ырта геометриги уларнинг ырта гормонигидан кичик эмас.
Бу формулаларга кыра

лекин 88-89 мисолларга кыра десак былади.
91. Агар былса эканлигини исботланг.
Исбот:
былади. Мисол исботланди.
92. ни исботланг.
Исбот: десак былади.
десак экан.
93. Штольц теоремаси. Агар
а) ;
б)
в) мавжуд, у щолда былади.
Исбот: ( -чекли сон) былсин, у щолда ва щамда , десак биз былган Теплица теоремасини шартларини бажарилади. Демак, былади. Агар былса ю=оридаги мулощазаларни
учун такрорлаб эканлигидан ва былганлиги учун теорема исбот былади.
94. натурал сон былса,
Ечиш:
Агар десак
У щолда


нинг даражаларига =араб коэффициентларни ихчамлаб суриб ва махражни га былсак щамда даражаси (-1)дан катта былмаган щадлар йи\индисни билан белгиласак,

95. эканлиги исботлансин.
десак Штольц теоремасига кыра

Муста+ил ишлаш учун:

96. Ж: 0
97. ж: 0
98. исботлансин.
99. исботлансин.
100. кетма-кетлик я=инлашишини исботланг ва бундан формулани (Эйпер доимийси) келтириб чи=аринг
Ечиш: былганлиги учун монотан камаювчидир.
Бундан таш=ари
десак =уйидан чегараланган. Шунинг учун у чекли лимитга эга, яъни бу ерда .
101. ни щисобланг.
Ечиш: десак, у щолда 100 мисолга кыра
демак экан.
Муста=ил ишлаш учун:
102. топинг.
103. былса ни исботланг.
104. ж: .
105. ж: .
106. ж: .