Kasr tartibli integro –differensial operatorlar

Kasr tartibli integro –differensial operatorlar.
Kasr tartibli integro- differensial operatorlar Abel integral tenglamasi bilan uzviy bog‘langan. Shuning uchun ham avval Abel integral tenglamasi yechimini o‘rganamiz.
(1)
ko‘rinishdagi integral tenglama Abel integral tenglamasi deyiladi.
(1) tenglama quyidagi usulda yechiladi. Bu tenglamada ni bilan, ni Bilan almashtirib, tenglamani har ikki tomonini ifodaga ko‘paytirib integrallaymiz.
, (2)
Dirixle formulasiga ko‘ra (2) integralda integrallash tartibini almashtirib
, (3)
tenglikni hosil qilamiz.
Ichki integralda almashtirish bajaramiz. Natijada

tenglikni olamiz. Shuning uchun ham
, (4)
Bu tenglikning ikki tomonini differensiallab
, (5)
Abel integral tenglamasining yechimini hosil qilamiz. Shunga o‘xshash
, (6)
ko‘rinishdagi tenglama yechimi

ko‘rinishda bo‘ladi.
Teorema-1. Abel integral tenglamasi funksiyalar sinfida yechimga ega bo‘lishi uchun
va (7)
bo‘lishi zarur va yetarli.
Bu yerda -[a,b] da absolyut uzluksiz funksiyalar sinfi;
Isboti. Zarurligi. Faraz qilaylik (1) Abel integral tenglamasining yechimi mavjud bo‘lsin. U holda ko‘rsatish mumkinki, (2), (3) va (4) tengliklar o‘rinli bo‘ladi. Bundan esa (7) shartlarning bajarilishi kelib chiqadi.
Etarliligi. Teoremaning shartlari bajarilgan bo‘lsin. bo‘lishidan bo‘lishi kelib chiqadi. Shuning uchun ham (5) ko‘rinishida ifodalangan funksiya oraliqning deyarli barcha nuqtalarida aniqlangan bo‘lib, funksiyalar sinfiga tegishli bo‘ladi. (6) formula Bilan aniqlangan funksiya (1) tenglamaning yechimi ekanligini ko‘rsatamiz.
Buning uchun (5) formula bilan aniqlangan funksiyani (1) tenglamaga qo‘yamiz va tenglamaning o‘ng tomonini bilan belgilaymiz:
(8)
Ko‘rsatamizki tenglik oraliqning deyarli barcha nuqtalarida bajariladi.
(8) tenglik funksiyaga nisbatan Abel integral tenglamasi. Shuning uchun ham (5) formulaga asosan
(9)
.
teorema shartiga ko‘ra, funksiya esa (4) tenglikka ko‘ra absolyut uzluksiz funksiyalar bo‘ladi. Shuning uchun ham

Lekin , shartlar bajariladi. Chunki (8) Abel integral tenglamasi yechimga ega. Shuning uchun ham s=0 bundan . Oxirgi tenglama tipidagi integral tenglama (1) tenglama yechimining yagonaligidan .
Teorema isbotlandi


Kasr tartibli integro- differensial operatorlar deyladi, bu yerda .
Ushbu ayniyatlar o‘rinli
Agar bo‘lsa, u holda deyarli hamma da
(11)
munosabat o‘rinli bo‘ladi.

1. 
   Ta’rifga asosan integrallash tartibini o‘zgartirish haqidagi Dirixle formulasini e’tiborga olsak,
   

tenglik hosil bo‘ladi.
Ichki integralda almashtirish bajarib, I bobdagi (20) formuladan foydalanamiz, u holda

Shunday qilib,

Bu tenglikdan, gipergeometrik funksiya birinchi ikki parametrga nisbatan simmetrik bo‘lgani uchun, (11) ayniyat kelib chiqadi.
1) Agar bo‘lsa, u holda deyarli hamma da quyidagi munosabatlar o‘rinli bo‘ladi:
(12)
(12) formulalar birinchisining chap tomonini orqali belgilab, (1) va (4) formulalarga asosan


tenglikka ega bo‘lamiz. Bundan, I bobdagi (21) formulaga asosan

Endi II bobdagi (18) formulalarning ikkinchisiga muvofiq

va

munosabatlardan foydalansak, ushbu

tenglikni hosil qilamiz.
Xuddi shunga o‘xshash, (12) formulalarning ikkinchisi isbotlanadi.
Agar (12) da ga almashtirib, deb hisoblasak, quyidagi formulalar kelib chiqadi:

3) bo‘lsin. U holda ushbu
(13)
ayniyatlar o‘rinli bo‘ladi.
Bu yerda integrallar Koshining bosh qiymati ma’nosida tushuniladi.
Haqiqatan ham, (1) va (4) ta’riflarga asosan

Bu yerda birinchi juft integralga Dirixle formulasini qo‘llaymiz, ikkinchisining esa o‘rinlarini almashtiramiz, u holda

Ichki integrallarda almashtirishni bajarib, quyidagi tenglikka ega bo‘lamiz:

Ushbu


integralni qaraymiz. ni x bo‘yicha differensiallaymiz, u holda


Bu tenglikda 0 da limitga o‘tamiz:
.
Ma’lumki,

Bunga asosan, avvalgi tenglik

ko‘rinishga keladi.
Bundan (13) formulalarning birinchisi kelib chiqadi. Ikkinchisi ham xuddi shunday isbotlanadi.