Kirish Egri chiziqli integrallar

2.Grin formulasining ba’zi bir tatbiqlari.
Shaklning yuzini topish.Grin formulasidan foydalanib,yassi shaklning yuzini sodda funksiyalarning egri chiziqli integrallari yordamida hisoblanishini ko‘rsatish qiyin emas. Haqiqatan ham, (3) formulada deyilsa, u holda

bo‘ladi.Demak,

Agar (3) formulada deyilsa,u holda
(4)
bo‘ladi.
(3) formulada deb olinsa, sohaning yuzi
(5)
bo‘ladi.
Misol.

ellips bilan chegaralangan shaklning yuzi topilsin.(4) formulaga ko‘ra

bo‘ladi.
Ikki karrali integrallarni o‘zgaruvchilarni almashtirib hisoblash.


Ikki karrali integrallarda o‘zgaruvchilarni almashtirish.


funksiya sohada berilgan bo‘lsin.Bu funksiyaning ikki karrali
(1)
Integral mavjudligi ma’lum bo‘lib,uni hisoblash talab etilsin.Ravshanki funksiya hamda) soha murakkab bo‘lsa,(1) integralni hisoblash qiyin bo‘ladi.Ko‘pincha, va o‘zgaruvchilarni,ma’lum qoidaga ko‘ra boshqa o‘zgaruvchilarga almashtirish natijasida integral ostidagi funksiya ham,integrallash sohasi ham soddalashib,ikki karrali integralni hisoblash osonlashadi.
Avvalo tekislikda sohani sohaga akslantirish egri chiziqli koordinatalar hamda sohaning yuzini egri chiziqli koordinatalarda ifodalanishini keltiramiz.
Ikkita tekislik berilgan bo‘lsin.Birinchi tekislikda to‘g‘ri burchakli koordinata sistemasini va chegaralangan sohani qaraylik.Bu sohaning chegarasi sodda bo‘lakli silliq chiziqdan iborat bo‘lsin.Ikkinchi tekislikda esa to‘g‘ri burchakli koordinata sistemasini va chegaralangan (∆) sohani qaraylik.Bu sohani ham sodda,bo‘lakli silliq chiziqdan iborat bo‘lsin. lar (∆) sohada berilgan shunday funksiyalar bo‘lsinki,ulardan tuzilgan sistema (∆) sohadagi nuqtani sohadagi соҳадаги nuqtaga akslantirsin

Va bu akslantirishning akslaridan iborat to’plam (D) ga tegishli bo‘lsin.
Demak ushbu
(2)
Sistema (∆) sohani (D) sohaga akslantiradi.
Bu akslantirish quyidagi shartlarni bajarsin:
.(2) akslantirish o‘zaro bir qiymatli akslantirish,ya’ni (∆) sohaning turli nuqtalarini (D) sohaning turli nuqtalariga akslantirib (D) sohadagi har bir nuqta uchun (∆) sohada unga mos keladigan nuqta bittagina bo‘lsin.
Ravshanki bu holda (2) sitema va larga nisbatan bir qiymatli yechiladi: va ushbu
(3)
sistema bilan akslantirish yuqoridagi akslantirishga teskari bo‘lib,(D) sohani (∆) sohaga akslantiradi.Demak
(4)
funksiyalar (∆) sohada funksiyalar (D) sohada uzluksiz va barcha xususiy hosilalarga ega bo‘lib,bu xususiy hosilalar ham uzluksiz bo‘lsin.
(2) sistemadagi funksiyalarning xususiy hosilalaridan tuzilgan ushbu
(5)
funksional determinant (∆) sohada noldan farqli (ya’ni (∆) sohaning har bir nuqtasida noldan farqli.) bo‘lsin.Odatda (5) determinantni sistemaning yakobiani deyiladi.Va yoki kabi belgilanadi.
Bu va shartlardan (∆) bog‘lamli soha bo’lganda (5) yakobianning shu sohada o‘z ishorasini saqlashi kelib chiqadi.
Haqiqatan ham funksiya (∆) sohaning ikkita turli nuqtalarida ishorali qiymatlariga ega bo‘lsa,u holda,(∆) da shunday nuqta topiladiki, bo‘ladi,bu esa, bo‘lishiga ziddir.
shartdan ( 3) sistemaning yakobiani,ya’ni ushbu
(6)
funksional determinantning ham (D) sohada noldan farqli bo‘lishi kelib chiqadi.
Haqiqatan ham (4) munosabatdan



bo ‘lishini e’tiborga olsak,u holda

bo‘lib,

bo‘lishini topamiz.
Shuningdek (2) akslantirish sohadagi silliq (bo‘lakli-silliq) egri chiziq

ni (D) sohadagi silliq (bo‘lakli-silliq) egri chiziq

ga akslantiradi.
sohada to‘g‘ri chiziqni olaylik.(2) akslantirish bu to‘g‘ri chiziqni (D) sohadagi

egri chiziqqa akslantiradi.Xuddi shunday sohada to‘g‘ri chiziqni (2) akslantirish (D) sohadagi

egri chiziqqa akslantiradi,odatda ((7) va (8) egri chiziqlarni koordinat chiziqlari koordinat chiziqi (8) ni esa koordinat chiziqi ) deb ataladi.
Modomiki (2) akslantirish o’zaro bir qiymatli akslantirish ekan,unda (D) sohaning har bir nuqtasidan yagona koordinat chizig‘i ( ning tayin o’zgarmas qiymatiga mos bo‘lgan chiziq) yagona koordinat chizig‘i ( ning tayin o’zgarmas qiymatiga mos bo’lgan chiziq) o‘tadi.Demak (D) sohaning shu nuqtasi yuqoridagi aytilgan va lar bilan ya’ni sohaning ( ) nuqtasi bilan to‘la aniqlanadi.Shuning uchun va larni (D) soha nuqtalarining koordinatalari deb qarash mumkin.(D) soha nuqtalarining bunday koordinatalari egri chiziqli koordinatalar deb ataladi.
Shunday qilib va lar bir tomondan soha nuqtasining Dekart koordinatalari 2-tomondan xuddi shu va lar (D) soha nuqtasining egri chiziqli koordinatalari bo‘ladi.
Misol:Ushbu

sitemani qaraylik.
Bu sistema sohani tekislikka akslantiradi.Bu sistemaning yakobiani

bo‘ladi.
va lar (D) soha nuqtalar egri chiziqli koordinatalari bo‘lib shu sohaning koordinat chiziqlari esa markazi (0,0) nuqtada,radiusi ga teng. Ushbu

aylanadan ( -koordinat chiziqlari) hamda (0,0) nuqtadan chiqqan nuqtalardan(koordinat chiziqlar) iboratdir.
Faraz qilaylik,ushbu

sistema sohani (D) sohaga akslantirsin.Bu akslantirish yuqoridagi shartlarni bajarsin.U holda (D) sohaning yuzi

bo’ladi.
funksiya (D) sohada berilgan va shu sohada uzluksiz bo‘lsin.Ravshanki funksiya (D) sohada integrallanuvchi bo‘ladi.
Aytaylik,ushbu

sistema sohani (D) sohaga akslantirsin va bu akslantirish yuqoridagi
shartlarni bajarsin.
Har bir bo‘luvchi chizig‘i bo‘lakli-silliq bo‘lgan sohaning bo‘linishini olaylik.(2) akslantirish natijasida (D) sohaning bo‘linishi hosil bo‘ladi.Bu bo‘linishga nisbatan funksiyaning integral yig‘indisi

ni tuzamiz.Ravshanki,

Yuqorida keltirilgan (9)-formulaga ko‘ra

bo‘ladi.O‘rta qiymat haqidagi teoremadan foydalanib quyidagini topamiz.

bunda ning yuzi natijada (10) yig‘indi ushbu

ko‘rinishga keladi. nuqtaning sohadagi ixtiyoriy nuqta ekanligidan foydalanib uni

deb olish mumkin.U holda

bo‘ladi.
Ravshanki,

funksiya sohada uzluksiz,demak shu sohada integrallanuvchi.U holda

bo‘ladi.
da bo‘lishini e’tiborga olib,(10) va (11) munosabatlardan

bo‘lishini topamiz.
Bu ikki karrali integralda o‘zgaruvchilarni almashtirish formulasidir.
U berilgan (D) soha bo‘yicha integralni hisoblashni soha bo‘yicha integralni hisoblashga keltiradi.Agarda (12) da o‘ng tomondagi integralni hisoblash yengil bo‘lsa bajarilgan o‘zgaruvchilarni almashtirish o‘zini oqlaydi.
Misol:Ushbu

integralni qaraylik.Bunda

Markazi (0,0) nuqtada,radiusi1 ga teng bo‘lgan yuqori tekislikda yarim doira. Berilgan integralda o‘zgaruvchilarni quyidagicha almashtiramiz:

bu almashtirish ushbu

to‘g‘ri to‘rtburchakni (D) sohaga akslantiradi va u shartlarni qanoatlantiradi.Unda (12) formulaga ko‘ra

bo‘ladi.Bunda yakobian bo‘ladi.Bu tenglikning o‘ng tomonidagi integralni hisoblaymiz.

Demak,


Endi Sohani sohaga akslantiruvchi

sistema shartlarni bajarganda sohaning yuzi

(9)
bo‘lishi aytilgan edi.Grin formulasidan foydalanib shu formulaning to‘g‘riligini isbotlaymiz.
Avvalo (4) formuladan foydalanib, sohaning yuzi
(13)
bo‘lishini topamiz.Faraz qilaylik, parametrik formada ushbu
yoki
sistema bilan ifodalansin,U holda quyidagi

sistema sohaning chegarasini ifodalaydi.Bunda parametrning o‘zgarish chegarasini shunday tanlab olamizki, parametr dan ga qarab o’zgarganda egri chiziq musbat yo‘nalishda bo‘lsin.U holda (8) tenglik ushbu
(14)
ko‘rinishga keladi.
Agar
(15)
bo‘lishini e’tiborga olsak,u holda
(16)
bo‘lishini topamiz.Bu tenglikdagi integral belgisi oldiga qo‘yilgan ishorani tushuntiramiz. Yuqorida, parametr dan ga qarab o‘zgarganda egri chiziqni musbat yo‘nalishda bo‘lishini aytdik.Bu holda egri chiziqning yo‘nalishi musbat ham bo‘lishi mumkin,manfiy ham bo‘lishi mumkin.Shuning uchun (14) va (15) munosabatlar bir-biridan ishora bilan farq qiladi. Agar egri chiziqning musbat yo‘nalishiga egri chiziqning ham musbar yo‘nalishi mos kelsa,unda “+” ishora olinadi,aks holda esa “-” ishora olinadi.
Endi ushbu
(17)
Grin formulasida

deb olsak,u holda bu formula quyidagi ko‘rinishga keladi:
(18)
Agar

va

ekanini e’tiborga olsak,unda (16), (17) va (18) munosabatlardan

bo‘lishi kelib chiqadi.
Ma’lumki,

yakobian aniq ishorali, esa ma’nosiga ko‘ra musbat bo‘lishi kerak.Demak,integral belgisi oldidagi ishora yakobianning ishorasi bilan bir xil bo‘lishi kerak.Shuning uchun

bo‘ladi.Shuni isbotlash lozim edi.