Kirish II. Interpolyatsiyon kvadratur formulalari

Nyuton - Kottes formulalari.

Kvadratur formulaning sonli turg’unligi. Tekis to’rli interpolyatsion turdagi kvadratur formulalar Nyton Kottes formulalari deb ataladi . Agar shu tugun nuqtalar _{ } , k=0, 1, ….n kabi aniqlangan bo’lsalar , unda kvadratur formulalar yopiq turdagi kvadratur formula deb ataladi . Agar x=a _{ } , 0_{ } h=_{ } , almashtirish bajarsak , _{ } k=0, 1, ….n bunda

Ko’rinishda ifodalanadilar. Nyuton- Kottes formulalari n_{ } bo’lganda axyon-axyonda ishlatiladilar chunki bu xolda ular xisoblash uchun turg’unmas bo’ladilar . Bunga sabab , _{ } koeffitsientlarining turli ishorali bo’lishlaridadir. Hisoblash uchun koeffitsientlar ishorasining bir xil ekanligini muhimligiga alohida to’xtalamiz.

Kvadratur yig’indini qaraymiz . f(x) funksiyaning qiymatlari biror bir xatolik bilan hisoblanadi, ya’ni aniq qiymat o’rnida _{ }(_{ })= f(_{ })+_{ } taqribiy qiymat topiladi deb faraz qilamiz . Unda _{ } o’rnida

Qiymat hosil bo’ladi , bunda

Interpolyasion kvadratur formula f(x)=1 funksiyani aniq interallaydigan bo’lgani uchun

Bo’ladi.

Bundan p(x)_{ } bo’lganda

Bo’ladi va yig’indining n-ta bog’liq bo’lmagan M_{ } , bilan chegaralanganligi kelib chiqadi.

Faraz qilamiz bizga _{ } koeffitsientlar manfiymas bo’lsinlar . Unda


Tengsizlikka ega bo’lamiz.

Bu tengsizlik kvadratur yigindining xatoligi tartibi funksiya qiymatini hisoblashdagi xatolik tartibi bilan bir xil ekanligini ko’rsatadi.

Agar _{ } koeffitsientlarning ishoralaari turlicha bo’lsa ,

Yig’indi n bo’yicha tekis chegaralangan bo’lmasligi mumkin va natijada n ning oshishi bilan _{ } ni xisoblash xatoligi o’sib borish mumkin. Bunday xolda Nyuton -Kottes formulalari bo’yicha xisoblash turg’un bo’lmaydi. Natijada bunday formulalardan n-ning katta qiymatlarida foydalanib bo’maydi. Shuday qilib (1) – integralni istalgan aniqlikda xisoblash uchun ikkita imkoniyat mavjud:

Birinchidan:[a,b] kesmani bir-nechta qismlaga ajratib xar bir qism kesmada tugun nuqtalari soni katta bo’lmagan, Nyuton-Kottes formulasini qo’llash mumkin.

Bunday usul bilan hosil qilingan formula murakkab kvadratur formula deb aytiladi.

f(x) funksiya qiymatlarining ko’p marotaba xisoblanadigan bo’lganligi tufayli bunday formulalarni tejamli emasligiga qaramasdan ulardan tez-tez foydalaniladi. Xuddi shunday tugun nuqtali Nyuton-Kottes kvadratur formulasining aniqlikda yuqori bo’ladi.

Ikkinchidan: tugun nuqtalarni maxsus tanlash yo’li bilan tugun nuqtalar soni Nyuton –Kottes kvadratur formulasining tugun nuqtalar soniga teng bo’lgan,lekin aniqlik tartibi yuqori bo’lgan kvadratur formula ko’rish mumkin.