Компьютерда графика

1.ГРАФИКНИ БЕЛГИЛАР ЁРДАМИДА
ТАСВИРЛАШ
Чизмани узуликсиз чизик шаклида тасвирлаш анча мураккаб булиб, у махсус график холатларига эга булган компьютерларда амалга оширилади. Лекин, бу мураккабликни графикни айрим олинган белгиларни урни сифатида караб, осонгина хал килиш мумкин ва графикнинг куриниши ёки узгариши хакида хулоса чикариш имконини беради.
Фараз килайлик, y= f (x) функциянинг графигини айрим олинган белгиларнинг урни сифатида нукта ёки юлдузчалар куринишида хам хосил килишимиз мумкин.
Сизга маълумки, функциянинг графигини чизишда, олдин функция аникланган ва график чизилиши керак буладиган [a,b] оралик аниклаб олинар эди. Навбатда, бу ораликни n Та (n - ихтиёрий натурал сон) булакка булиб, бу булакнинг тугун нукталарида (булакнинг четки нукталари) функциянинг кийматлари жадвали хосил килинар эди.
1-жадвал

xi	x0	x1	x2	. . .	xn
yi	y0	y1	y2	. . .	yx

Бу жадвалда куйидаги белгилаш олинган:

x_i = a+ i h, y_i= f(b-a) / n, i=0,1..., n.
n нинг катта кийматлари ва мураккаб функциялар учун бу жадвални аниклаш мураккаб иш булиб, жуда куп вакт талаб этади. Аммо, компьютерда бу масалани соддагина хал килиш мумкин.
Функциянинг графигини тасвирлашда биз, 1-жадвалдан фойдаланиб, координата системасида тугун нукталарга мос келган функциянинг кийматларининг белгилаб чикар эдик.
Агар, белгиланган функция кийматларини узаро бирлаштириб чиксак, функциянинг [a, b] ораликдаги графиги тахминан хосил булади. Аммо, шуни назарда тутиш лозимки, график чизиш жараёнида кийматларнинг жуда кичик ёки жуда катта булган холларида хам, Y укидан ораликларни танлаш хисобига, яъни масштаб танлаш хисобига графикни когозга сигдира оламиз. Худди шунингдек, [a, b] ораликнинг узунлиги жуда кичик ёки жуда катта булган холда хам бу жараён хисобга олинган.
Y уки буйича масштаб, одатда, функциянинг кийматига караб, яъни функциянинг кийматлари жуда кичик сонлар булса, уни катта килиб, акс холда жуда кичик килиб танлар эдик. Худди шунингдек, Х уки буйича хам. Хуш, юкорида келтирилган жараённи компьютерда кандай килиб тушунтириш керак. Соддалик учун мулохазаларимизни у=х² функция учун олиб борамиз. Бу фикрлар ихтиёрий функция учун хам уринли булади. Берилган оралик [-5,5] булсин. ораликни n=10 булакка булиб, h=1 ни (h - булакчалар узунлиги) ва функциянинг кийматлари жадвалини хосил килайлик (2 - жадвал):
2-жадвал

xi	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5
yi	25	16	9	4	1	0	1	4	9	16	25

Хосил булган бу кийматларни координата системасига куйиб чикамиз (1-расм) ва функцияни графигини хосил киламиз.
Агар, бу чизмани (1- расм) компьютер экранида тасвирламокчи булсак, у холда сизга маълумки, компьютер экраниниг хар бир сатридаги уринлар сони жуда чегараланган, яъни улар 40 тадан 80 тагача булиши мумкин. Бу эса Х укидаги нукталар сонини чегаралаб куйишга олиб келади. Бу уз навбатида графикни аникрок

y

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x

1- расм
тасвирлаш имконини бермайди. Иккинчидан, функция кийматларига мос келадиган нукталарининг урнини аниклаш масаласида биз шундай Х_i ларни кидиришимиз керакки, бу нукталарда функциянинг кийматлари бир хил булиб, каттадан кичикка караб келиши керак. Агар бундай нукталар куп булса, кидириш жараёни мураккаблашиб кетади. Бу кийинчиликни бартараф этишнинг энг осон йули координата укларини алмаштиришдан иборатдир (2-расм).

2-расмга эхтибор берадиган булсак, X нинг кийматлари компьютер экранининг янги сатрига утишни курсатиб турибди, яъни X_i дан X_i+1 га утиш янги сатрда ниманидир (мисолда юлдузчани) чоп этишни билдиради. Бунда Х уки вертикал буйича йуналган булиб, когознинг чикиш йуналишини аниклайди ва у

-6
-5
-4
-3
-2
-1
0 у
1 2
3
4
5
6
х
2-Расм
чегараланмаган, яъни х_i хохлаганча танлаш имконини беради. Булакчаларнинг узунлиги h жуда кичик ёки жуда катта булганда хам X_i дан X_i+1 га утиш деб биз янги сатрга утишни тушунамиз. Иккинчи масала, хар бир X_i га мос келган функциянинг кийматини аникловчи белгининг сатрдаги урнини аниклаш масаласидир. Маълумки, функциянинг кийматлари мусбат, манфий ва бутун булган сонлар булиши мумкин. Сатрдаги уринлар эса 40 дан, айрим холларда 80 дан ошмаган бутун мусбат сонлар булиши керак. Функциянинг кийматларини бу уринларга мослаш муаммосини хал килиш керак булади. Бу масалани куйдагича хал килиш мумкин. Фараз килайлик, функциянинг кийматлари мусбат сонлар булсин. Бейсикда чикариш буйруги PRINT билан хар доим бирга келиши мумкин булган TAB функцияси функциянинг кийматига мос келадиган белгининг сатридаги урнини аниклаши мумкин. Функциянинг кийматлари бутун сонлар булмаса, у холда бу функция кийматининг бутун кисмини олади.
Юкорида келтирилган функция учун графикни “^*” лар оркали тасвирлаш дастурини келтирамиз. Функциянинг [-5,5] ораликдаги кийматлари 25 дан ошмагани учун масштаб танлаймиз.
10 REM Y=X^ 2
20 X=-5
30 ? TAB (X^2); “^*”
40 X=X+1:IF X< = 5 THEN 30
50 END
Ушбу дастур Turbъ Pascal (TP) тилида куйидагича булади:
uses crt;
var x,y:integer;
begin
x:=-5;
clrscr;
y:=1;
repeat
gъtъxy(x*x,y);
write('*');
x:=x+1;
y:=y+1;
until x>5
end.
Бу дастурга эътибор берсак, у 2- расмда келтирилгандек экранда “^*” ларни хосил килади. Дастурга озгина узгартиришлар киритиб, координата укларини хам тасвирлаш мумкин. Бу дастур куйдагича булиши мумкин.
10 REM Y=X^ 2
20 X=-5
30 ? “^ y”
40 ? “!”: ? “!”
50 IF X=0 THEN 90
60 ? “!”; TAB ( X^ 2+1); “!”
70 X=X+1: IF X< = 5 THEN 50
80 END
90 ? “^*”; STRING $ (30, “-”); “> x”
100 GЪTЪ 70
Бу дастурда оралик [-5,5] ни хам узгартириб куриш мумкин. Факат функциянинг киймати экран чегарасидан чикиб кетмаслиги керак. Худди шунингдек, 70- сатрдаги Х=Х+1 ни хам узгартириш мумкин. Масалан, Х=Х+0,5 куринишда.
Энди масалани умумий куринишда хал килайлик. Фараз килайлик, [a,b] ораликда аникланган ихтиёрий у=f (х) функциянинг графигини юкоридаги усулда тасвирлаш талаб этилсин.
Бу масалани хал килишни бир неча боскичда ажратамиз.
1- б о с к и ч. [a,b] орлик ва бу ораликни булувчи n сонини аниклаш. Дастурлаш тили билан айтганда, бу сонларни компьютер хотирасига киритишдан иборат. Бу Бейсик тилида куйидаги буйруклар ёрдамида амалга оширилади:
10 REM Y=F(X)
20 INPUT “A,B,N=“; A,B,N
2 - б о с к и ч. Бу боскичда функция аникланади ёки таърифланади:
30 DEF FNF (X)= <Функциянинг куриниши>
Масалан, юкоридаги функция учун
30 DEF FNF (X)=X^ 2
Бу боскичда хар бир киши узининг функцияси куриниши ёзиши етарли.
3 - б о с к и ч. Бу боскичда бошлангич маълумотлар ёрдамида функциянинг кийматлар жадвалини хосил килиш керак. Бунинг учун жадвални таърифлаш ва бирор усул билан жадвал элементларини хосил килиш керак булади. Бу айтилганларни дастурнинг куйидаги булаги ёрдамида амалга ошириш мумкин.
40 DIM Y( N): H=( B-A) / N
50 FЪR I=1 TЪ N
60 Y( I)= FNF(A+1^* H): NEXT I
4 - б о с к и ч. Бу боскичда функциянинг кийматлари ичидан энг каттасини ва энг кичигини топиш керак булади. Бу кийматлар масштаб танлаш учун лозимдир. Функция кийматларининг энг катта ва энг кичгини мос равишда Y1 ва Y2 деб белгилаб, уларни куйидагича аниклаймиз:
70 Y1= Y(0): Y2= Y1
80 FЪR I=1 TЪ N
90 IF Y1< Y(1) THEN Y1=Y(1)
100 IF Y2>Y(1) THEN Y2=Y(1)
110 NEXT I
5 - б о с к и ч. Бу боскичда функция графигини чизиш керак булган майдонинг улчамларини аниклашимиз лозим. Бу майдон экраннинг ёки когознинг маълум кисми булиши мумкин (3-расм). Майдоннинг улчамлари деганда, майдоннинг чап чегарасини экрандаги ёки когоздаги урни (L_х) ва худди шунингдек, унг чегаранинг урни (P_х) тушунилади. L_х ва P_х нинг кийматлари аникланади ёки улар ЭХМ хотирасига киритилади. Бунда албатта, 0x
x <40 (80) булиши лозим.
Фараз килайлик, куйидагиларнинг кийматлари киритилсин:
120 INPUT “LX, PX=“; LX, PX
Экран ёки когоз

График
чизилиши

керак
булган
майдон

L_x x P_x

3-расм
Навбатда, функциянинг манфий ва мусбат кийматлари танланган майдоннинг кайси булакларида етишини аниклашимиз лозим, яъни Х уки утиши керак булган сатрдаги уринни топиш керак. Бу урин дастурда S билан белгиланган. Худди шунингдек, функциянинг энг катта киймати (Y₁) ни шундай бир М сонига купайтириб, унга S ни кушганда бу киймат P_х дан ошмаслиги ва функциянинг энг кичик киймати (Y₂) ни шу М сонига купайтириб, унга S кушилганда, бу киймат L_х дан кичик булмаслиги лозим. Бир суз билан айтганда, S (Х укининг урни) ва М (масштаб)ни шундай танлаш керакки, функциянинг кийматларини аникловчи урин майдондан чикиб кетмасин. Юкоридаги келтирилган масала куйидаги икки ноъмалумли (S, M) чизикли алгебраик тенгламалар системасини ечишга келади:
M* Y1+S=PX
M* Y2+S=LX
Бундан М ва S ларни аниклаш мумкин:
130 М= (PX - LX) / (Y1-Y2) : S=PX - M ^* Y1
6 - б о с к и ч. Бу боскичда хар бир Х_i га мос Y_i (i=0, n) нинг сатрдаги урнини аниклаш ва бу уринда бирор белгини чоп этиш лозим. Х_i га мос Y_i нинг сатрдаги урни