Ko’p noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasi

"KO’P NOMA’LUMLI ChIZIQLI TENGLAMALAR SISTEMASI” MAVZUSINI O’QITIShDA MUAMMOLI TA’LIM TEXNOLOGIYaSI

Muammoli ta’lim jarayonini quyidagi uchta asosiy bosqichga ajratish mumkin:

1. Muammoli vaziyat hosil qilish.

2. Muammoni echish taxminlarini shakllantirish.

3. Echimning to’ғriligini tekshirish (olingan echim bilan boғliq axborotni tizimlashtirish orqali).

Muammoli vaziyat hosil qilishda quyidagilar hisobga olinishi lozim: muammolar nazariy yoki amaliy yo’nalishda bo’ladi. Darsda hosil qilinadigan muammoli vaziyat hamda talabalarga hal etish taklif etiladigan muammoga qo’yiladigan eng asosiy talab–talabalarning qiziqishini oshiradigan, eng kamida esa talabalarda qiziqish hosil qiladigan bo’lishi kerakligidir. Aks holda ko’zda tutilgan natijaga erishishning imkoni bo’lmaydi. Muammo talabalarning bilim darajalariga hamda intellektual imkoniyatlariga mos bo’lishi shart, hosil bo’lgan muammoli vaziyatni echish uchun topshiriqlar yangi bilimlarni o’zlashtirishga yoki muammoni aniqlab, yaqqol ifodalab berishga yoki amaliy topshiriqni bajarishga yo’naltirilgan bo’ladi. Talabalarning muammoli vaziyatni tushunishlari, uning kelib chiqishi sabablari hamda nimalarga, qanchalik darajada boғliqligini idrok qila olishlari natijasida hosil bo’ladi. Bunday tushuna olish esa talabalarga mustaqil ravishda muammoni ifodalay olish imkoniyatini beradi. Muammoni echish taxminlarini shakllantirishda talaba o’zlashtirgan bilimlari asosida kuzatish, solishtirish, tahlil, umumlashtirish, xulosa chiqarish kabi aqliy faoliyatlarni bajaradi.

"Ko’p noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasi” mavzusini o’qitishda muammoli ta’lim texnologiyasini tashkil qilish bosqichlari quyidagicha bo’ladi. 1-bosqich:

(1)

(1) sistemani m≠n holda yechish masalasini qo’yaylik.

2-bosqich: talabalar bu muammoni hal qilishda, uni echish taxminlarini shakllantirishadi: bunda doimo m≤n, ya’ni tenglamalar soni noma’lumlar sonidan katta emas deb hisoblashimiz mumkin. Agar m>n bo‘lsa, unda noma’lumlarni yo‘qotish usulidan quyidagicha foydalanib, m≤n holga kelamiz. 1-qadamda sistemaning ikkinchi va undan keyingi barcha tenglamalaridan x₁ noma’lumni yo‘qotib, ularda faqat x₂, x₃, …, x_n noma’lumlar qatnashishiga erishamiz. 2-qadamda sistemaning uchinchi va undan keyingi barcha tenglamalaridan x₂ noma’lumni yo‘qotib, ularda faqat x₃, x₄, …, x_n noma’lumlar qatnashishiga erishamiz. Bu jarayonni davom ettirib, (n–1)-qadamda n-tenglama va undan keyingi tenglamalarda faqat bitta x_n noma’lum qolishiga erishamiz. Navbatdagi qadamda n- tenglamadan foydalanib, (n+1)-tenglama va undan keyingi barcha tenglamalardan oxirgi x_n noma’lumni yo‘qotamiz. Natijada bu tenglamalar o‘rnida 0=b_k ( k=n+1, n+2, …, m) ko‘rinishidagi ifodalar paydo bo‘ladi. Agar (1) sistema birgalikda, ya’ni yechimga ega bo‘lsa, unda hamma b_k sonlar nollardan iborat bo‘ladi va aksincha. Agar b_k sonlardan kamida bittasi noldan farqli bo‘lsa, unda (1) sistema birgalikda emas, ya’ni yechimga ega bo‘lmaydi. Ikkala holda ham sistemada qolgan tenglamalar soni n ga teng yoki undan kichik bo‘ladi, chunki qolgan tenglamalar orasida ham 0=b_k ko‘rinishdagi ifodalar bo‘lishi mumkin. Shunday qilib (1) sistemada m≤n bo‘lsin. Bu sistema yechimga ega, ya’ni (3) va (6) matritsalarning ranglari teng va r(A)=r(A^b)=r bo‘lsin. Bunda r≤m bo‘ladi. Agar r=m=n bo‘lsa, unda sistemaning asosiy determinanti ∆=|A|≠0 bo‘ladi, ya’ni oldin ko‘rib o‘tilgan holga kelamiz va sistema yechimini matritsalar, Kramer yoki Gauss usullaridan birining yordamida topamiz. Endi (1) sistema matritsasining rangi r(A)=rm bo‘lishini eslatib o‘tamiz ). Bunga oldin qaralmagan m=n, ammo ∆=|A|=0 bo‘lgan hol ham kiradi. Bu holda matritsaning biror r-tartibli M bazis minorini (§3, 6-ta’rif) qaraymiz. (1) sistemaning koeffitsiyentlari shu bazis minorga kirgan r ta tenglamalarini qoldirib, qolgan m–r ta tenglamasini o‘chirib tashlaymiz. Bunga sabab shuki, bu m–r ta tenglamani qoldirilgan r ta tenglamalardan hosil qilish mumkin, ya’ni ular noma’lumlar to‘g‘risida yangi ma’lumot bermaydi. Qoldirilgan r ta tenglamalarni (1) sistemaning dastlabki r ta tenglamasi deb qarash mumkin. Bu holda (1) sistemaga ekvivalent bo‘lgan ushbu sistemaga kelamiz:

Bu sistemaning tenglamalaridagi koeffitsiyentlari bazis minorga kirgan noma’lumli (ularni x₁, x₂, …, x_r deb olishimiz mumkin) qo‘shiluvchilarni o‘z joyida qoldirib, boshqa x_r+1, x_r+2, …, x_n noma’lumli qo‘shiluvchilarni tenglamalarni o‘ng tomoniga o‘tkazib, quyidagi sistemaga kelamiz:

(2)

(2) sistemadagi x₁, x₂, …, x_r noma’lumlar asosiy o‘zgaruvchilar, qolgan n–r ta x_r+1, x_r+2, …, x_n noma’lumlar esa erkli o‘zgaruvchilar deb ataladi. Erkli o‘zgaruvchilarga ixtiyoriy bir x_r+1=C₁, x_r+2=C₂, …, x_n=C_n–r qiymatlarni beramiz. Unda (10) x₁, x₂, …, x_r asosiy o‘zgaruvchilarga nisbatan r noma’lumli r ta chiziqli tenglamalar sistemasini ifodalaydi. Bu sistemaning asosiy determinanti M bazis minordan iborat bo‘lib, noldan farqlidir. Unda (2) sistema yagona yechimga ega bo‘lib, uni matritsalar yoki Kramer yoki Gauss usulida topish mumkin. Demak asosiy x₁, x₂, …, x_r o‘zgaruvchilarning qiymatlari x_r+1=C₁, x_r+2=C₂, …, x_n=C_n–r erkli o‘zgaruvchilar qiymatlariga bog‘liq holda aniqlanadi, ya’ni

ko‘rinishda bo‘ladi. Unda (1) yoki unga ekvivalent (10) sistema cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘lib, ular

ustun matritsani tashkil etadi va sistemaning umumiy yechimi deyiladi. Bunda C₁=0, C₂=0, …, C_n–r=0 holga mos keladigan X bazis yechim deb ataladi.

Aqliy faoliyatdagi asosiy jarayon fikrlash jarayoni bo’lib, fikrlashning sifati uning mantiqiyligi, mustaqilligi, ijodiyligi, ilmiyligi, asosliligi, uzviyligi, tejamliligi, maqsadliligi, tezligi, tahliliyligi, qiyosiyligi, umumlashtirilganligi, xususiylashtirilganligi, kengligi, chuqurligi, ishonarliligi, realligi, haqqoniyligi darajasi bilan belgilanadi. Shu bilan birga intellektual sifatlar xotira, tasavvur, anglash va shu kabi psixologik jarayonlarning tezligi hamda boshqa parametrlari bilan boғliq. Intellektual taraqqiyot darajasi o’qituvchilarda hamda talabalarda qancha yuqori bo’lsa, shunchalik yaxshi natijalarga erishish imkoniyati hosil bo’ladi. Shunga ko’ra talabalarda muammoni sezish, uni aniqlash, echimiga doir taxminni to’ғri belgilash va echimning to’ғriligini tekshirish qobiliyatlari rivojlanib boradi.

3-bosqich: Echimning to’ғriligini tekshirish maqsadida misollardan namunalar keltiriladi. Misol №2: Ushbu sistemani tekshiring va uning umumiy hamda bazis yechimni toping: