Kvadrat uchhad qatnashgan ba’zi funksiyalarni integrallash. Ratsional funksiyalarni integrallash

4-ma’ruza. Kvadrat uchhad qatnashgan ba’zi funksiyalarni integrallash. Ratsional funksiyalarni integrallash. Kvadrat uchhad qatnashgan ba’zi funksiyalarni integrallash. Ratsional kasrlarni eng sodda kasrlarga yoyish yo’li bilan ratsional funksiyani integrallash
Reja

1. 
   Kvadrat uchhad qatnashgan ba’zi funksiyalarni integrallash.
   
2. 
   Ratsional kasrlarni eng sodda kasrlarga yoyish yo’li bilan ratsional funksiyani integrallash
   

Kvadrat uchhad qatnashgan ba’zi funksiyalarni integrallash.

Quyidagi koʻrinishdagi integrallarni qaraymiz:

Suratda kasrning maxrajidan olingan hosilani ajratamiz.
(x²+px+q)¹ =2x+p

Misol . Integralni hisoblang.

Yechish: suratda maxrajining hosilasini ajratamiz.
(x²+4x+8)¹=2x+4

Birinchi integral ln|x²+4x+8| ga teng. Ikkinchi integralning maxrajida to‘liq kvadrat ajratamiz.
(x²+4x+8)=(x+2)²-4+8=(x+2)²+2²
Natijada quyidagini hosil qilamiz.

Misol. Integralni hisoblang.

Yechish: A=0 bo‘lgani uchun maxrajida to‘liq kvadratni ajratishdan boshlaymiz.

Bundan
Ushbu

boʻlsa , integralni ushbu koʻrinishda yozib olamiz:

Ox urgi integral uchun boʻlsa,

koʻrinishdagi, boʻlsa,

Koʻrinishdagi jadval integrallari hosil boʻladi.
Misol.

Quyidagi Integral berilgan boʻlin:

Bunda ham x²+px+q uchxadning hosilasini ajratishdan boshlaymiz.
Birinchi integralni hisoblasak bO‘ladi:

Ikkinchi integralni hisoblaymiz:
belgilashlarni kiritamiz. deb olamiz.

Ox irgi integralga bo‘laklab integrallash formulasini qo‘llaymiz:

Agar deb belgilasak, quyidagini hosil qilamiz.

Bu jarayon quyidagi integralni hosil qilgunimizcha davom etadi.

formula rekurent (qaytuvchan) formula deyiladi.
Misol. Integralni hisoblang

Yechish: uchxaddan to‘liq kvadrat ajratamiz.

Natijada quyidagi integralni hosil qilamiz.
belgilaymiz. almashtirishni bajaramiz.
deb belgilaymiz.
formula orqali quyidagilarni topamiz.
x o‘zgaruvchiga qaytsak
hosil bo‘ladi.


Ratsional kasrlarni eng sodda kasrlarga yoyish yо‘li bilan ratsional
funksiyani integrallash.
Misol: ni toping.
Yechish: To‘g‘ri kasrni eng soda kasrlar yig‘indisi ko‘rinishida yoyish qoidasiga ko‘ra;

Qavs ichidagi kasrlarni umumiy maxrajga keltiramiz va uning suratini x ga tenglaymiz:

C noma`lumni toppish uchun tenglikning o‘ng tomonidagi qavslarni ochib x² oldidagi koeffisiyentlar yig‘indisini nolga tenglaymiz, natijada
0=A+C, bundan C=-1/8
kelib chiqadi. Bu qiymatlarni o‘rniga qo‘yib berilgan integralni topamiz:

M isol.
ni toping

Yechish: Integral ostidagi funksiya noto‘g‘ri kasr bo‘lgani uchun uning suratini maxrajiga bo‘lib, kasrni butun qism va to‘g‘ri ratsional kasr yig‘indisi ko‘rinishida yozib olamiz:

Bundan, Maxrajdan qutilib, quyidagini hosil qilamiz

x=-1 da, 2A=3 bundan A=3/2. Agar x=-2 bo‘lsa –B=2, B=-2. x=-3 da 2C=1 bundan C=1/2.

Misol.

ni toping.
Yechish: (x-1)³ ni , x+3 ni .

Maxrajdan qutilib, quyidagini hosil qilamiz

x=1 da, 4A=2 bundan A=1/2. Agar x=-3 bo‘lsa –64D=10, D=-5/32. C=5/32, B=3/8.




Misol.

ni toping.

Maxrajni ko‘paytuvchilarga ajratamiz:

Maxrajdan ozod qilamiz:

x=0 da, A=-1. Agar x=1 bo‘lsa 3C=1,C=1/3.
O ldingi tenglikni quyidagicha yozib olamiz
x⁴, x³, x² koeffisiyentlarini tenglashtirib quyidagi sistemani hosil qilamiz

Bundan B=0, D=-1/3, E=1/3. Shunday qilib,