4-ma’ruza. Ratsional kasrlarni integrallash Reja

4-ma’ruza. Ratsional kasrlarni integrallash
Reja:
33.1. Ratsional kasrlarni sodda kasrlarga ajratish:
33.2. Sodda kasrlarni integrallash.
33.33. Ratsional funksiyani integrallash.
Tayanch iboralar. ko’phad, ko’phadning ildizi, to’g’ri kasr, sodda kaslar, sodda kaslarni integrallash, ratsional funksiya, ratsional funksiyani integrallash.

1. 
   Ratsional kasrlarni sodda kasrlarga ajratish.
   

Ikkita algebraik ko’phadning nisbatiga, ya’ni
(1)
ifodali ratsional funksiya yoki ratsional kasr deyiladi. Bunda, va ( ) haqiqiy koeffisiyentli ko’phadlar, deb faraz qilinadi.
Agar mbo’lsa, u holda to’g’ri kasr ratsional funksiya, bo’lganda esa, noto’g’ri kasr ratsional funksiya deyiladi. Agar (1) ratsional kasr, noto’g’ri kasr bo’lsa, u, kasrning suratini maxrajiga bo’lish yo’li bilan,
(2)
ko’rinishga keltiriladi, bunda w(x) – biror ko’phad.
Oliy algebra kursidan ma’lumki, har qanday ko’phadni, ushbu
(3)
(bunda - ko’phadda ning yuqori darajasi oldidagi koeffisiyent, lar - tenglamaning ildizlari) ko’rinishda tasvirlash mumkin.
Agar ko’phadning ildizlari ichida o’zaro tenglari bo’lsa, u holda, ko’phad,
(4)
ko’rinishga keltiriladi, bunda - butun sonlar, sonlar esa, mos ravishda, ko’phadning karrali ildizlari deyiladi va bo’ladi.
1 – teorema. Agar to’g’ri ratsional kasr tarkibidagi ko’phad (5) shaklda tasvirlangan bo’lsa, u holda, ratsional kasr, yagona ravishda,
(6)
(bunda - noma’lum haqiqiy sonlar) ko’rinishda tasvirlanadi. (6) tenglik, x ning ko’phadning haqiqiy ildizlariga teng bo’lmagan hamma qiymatlarida o’rinli.
(6) dagi noma’lum koeffisiyentlarni topish uchun (6) ni umumiy maxrajga keltirib (umumiy maxraj ) ikki ko’phadning tengligi haqidagi teoremaga asosan, o’ng tomonidagi suratdagi hosil bo’lgan ko’phad bilan ko’phaddagi x ning bir xil darajalari oldidagi koeffisiyentlarni tenglashtirish natijasida, noma’lum koeffisiyentlarga nisbatan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi. Bu sistemadan noma’lum koeffisiyentlarni topib, topilgan qiymatlarni (6) tenglikka keltirib qo’yamiz. Kasrning yoyilmasidagi noma’lum koeffisiyentlarni topishning bu usuli, noma’lum koeffisiyentlar usuli deyiladi.