Lebeg o’lchovi

2-Teorema. Agar va to’plamlar uchun bo’lsa, u holda
,
Isbot. Bu tengsizliklarni isboti o’hshash bo’lganligi sababli ularni birinchisini isbotlash bilan chegaranamiz. bo’lganligi uchun to’plamni qoplaydigan har qanday oraliqlar sistemasi to’plamni ham qoplaydi. Malumki, bunday oraliqlar sistemasini cheksiz ko’p usullar bilan tuzish mumkin. Natijada yig’indi ( bu yerda son oraliqning uzunligi ) cheksiz ko’p qiymatga ega bo’ladi. Agar to’plamni qoplaydigan oraliqlar sistemasi uchun tuzilgan yig’indining qiymatlar to’plami bilan, to’plamni qoplaydigan oraliqlar sistemasi uchun tuzilgan yig’indining qiymatlar to’plami bilan belgilasak, munasabatga ega bo’lamiz. Bundan aniq quyi chegaraning ta’rifiga ko’ra

o’rinli bo’ladi.
2. Tashqi o’lshovning xossalari
3-Teorema. Agar chegaralangan to’plam chekli yoki soni sanoqli to’plamlarning yig’indisidan iborat, ya’ni bo’lsa, u holda

Isbot. Aniq quyi chegaraning ta’rifiga asosan har qanday son va har bir natural son uchun shunday oraliqlar sistemasi topiladiki, bo’lib,

bo’ladi ( bu yerda son oraliqlarning uzunligi ). oraliqning tanlanishidan va teorema shartidan quyidagiga ega bo’lamiz:

Bundan

ihtiyoriy bo’lganligi tufayli bu tengsizlikdan ushbu tengsizlikni olamiz:

4-Teorema. Agar chegaralangan to’plam uchun , ,
bo’lsa, u holda

Isbot. Teoremani daslab ikki to’plam uchun isbotlaymiz. Faraz qilaylik, , bo’lib to’plamni o’z ichiga olgan eng kichik segment bo’lsin. va to’plamlarni ko’ramiz.
Har qanday uchun shunday va oraliklar sistemasini topish mumkinki, ular uchun ushbu
va (4)
hamda
va (5)
munosabatlar bajariladi; bu yerda va sonlar mos ravishda va oraliqlarning uzunliklari. va to’plamlar o’zaro kesishmaganligi tufayli, va to’plamlar oraliqlarni qoplaydi:

Bundan (4) munosabatga asosan, ushbu munosabatga ega bo’lamiz:
(6)
va oraliqlarning kesishmasi ham oraliq bo’lganligi uchun (6) munosabatdan ushbu
(7)
tengsizlik kelib chiqadi, bu yerda son oraliqning uzunligi .
Endi, ushbu

munosabatdan

tengsizlik kelib chiqadi. Bundan (7) tengsizlikka asosan, ushbu

tengsizlikni olamiz. Bundan (5) tengsizlikka asosan, ushbu

tengsizlikni olamiz. ning ihtiyorligidan esa

tengsizlik kelib chiqadi. Bundan

tengsizlikni olib, ushbu natijaga kelamiz:

Har qanday chekli uchun teorema induksiya usuli orqali isbotlanadi.
Faraz qilaylik, endi , , bo’lsin. Ixtiyoriy naturol son uchun ushbu

belgilashni kiritamiz. Bundan munosabat kelib chiqadi. 3-teoremaga asosan tengsizlikka ega bo’lamiz. Hozirgina isbotlaganimizga asosan esa

Demak,

Natural son ihtiyoriy bo’lganligi uchun, bundan da ushbu

tengsizlik kelib chiqadi.
2-Izoh. Bu teoremada to’plamlarning kesishmaydigan qilib olinishi muhim, chunki, agar , bo’lsa u holda
, .

Bundan esa Lekin

Endi to’plam o’lchovining ta’rifini beramiz.
2-Ta’rif (A.Lebeg). Agar to’plamning tashqi o’lchovi uning ichki o’lchoviga teng bo’lsa, u holda o’lchovli to’plam deyiladi va uning o’lchovi bilan belgilanadi, ya’ni

Bu ta’rif ma’nosidagi o’lchovli to’plamni o’lchovli to’plam deyiladi. Yuqoridagi mulahazalardan va tengliklarning o’rinli ekanligi bevosita ko’rinadi.