M sohasi: im yoʻnalis oliy V t “o iqtis matem

 1-misol
. Integralni toping:  
1) 
3
;
xdx
x
x


        2) 
3
;
1
1
dx
x
x
 


        3) 
2
3
1
.
2
2
x
dx
x
x




 
 Yechish. 
 

 
137 
 1)
3
xdx
x
x


 ni hisoblaymiz. 
1
2
 va 
1
3
 funksiyalarning umumiy maxraji 6 ga 
teng boʻlganligi sababli 
6
x t
  almashtirish bajaramiz. U holda 
5
6
dx
t dt

 boʻladi 
va integral quyidagi koʻrinishni oladi. 
3
5
6
5
4
3
2
3
2
3
6
1
6
6 (
1
)
1
1
xdx
t t
t
dt
dt
t
t
t
t
t
dt
t
t
t
t
x
x



     









6
5
4
3
2
5
6
6
3
6
2
3
6
6ln
1
5
2
5
t
t
t
t
t
t
t
C x
x
 



 
   

 
2
3
3
6
6
3
2
3
6
6ln
1
.
2
x
x
x
x
x
C





 
 
 2) 
3
1
1
dx
x
x
 


 integralni hisoblaymiz. Integral ostidagi funksiya 
3
( ,
1,
1)
R x x
x

  koʻrinishdagi funksiya boʻlib, bu yerda 
1
2
1
1
,
2
3




. Bu 
funksiyalarning umumiy maxraji 
6
m

. U holda 
6
1
x
t
  , 
3
1
x
t
 
, 
2
3
1
x
t
 
 
almashtirishlar bajarib, quyidagi 
3
6
1
t dt
I
t



 integralga kelamiz. Natijada  
2
3
2
1
6 (
1
)
2
3
6
6ln |
1|
1
I
t
t
dt
t
t
t
t
C
t

  


 
  


 
=
3
6
6
2
1 3
1 6
1 6ln |
1 1|
x
x
x
x
C
 
 
 
  
. 
 3) 
2
3
1
2
2
x
dx
x
x




 integralni hisoblaymiz. Bu integral 
2
I  
 
koʻrinishidagi 
integraldir. Shu sababli funksiyaning suratini 


3
3
1
2
2
4
2
x
x
 


 yozib olib 
quyidagiga ega boʻlamiz: 


1
2
2
2
2
2
3
2
2
4
(3
1)
3
2
(
2
2)
(
2
2)
2
2
2
2
2
x
x
dx
dx
x
x
d x
x
x
x
x
x


















 
2
2
2
(
1)
4
3
2
2 4ln
1
2
2
.
(
1)
1
d x
x
x
x
x
x
C
x




 
 

 



 
 
Mashqni bajaring.
 Integralni toping: 
1) 
3
3
4
;
xdx
x
x
x



       2) 
3
1
;
1
1
x
dx
x
x

 


         3) 
2
5
4
.
3
5
3
x
dx
x
x




 

 
138 
Trigonometrik funksiyalarni integrallash usullari. 
(sin ,cos )
I
R
x
x dx


 integralni 
qaraylik. Bu koʻrinishdagi integrallarni hisoblash uchun umumiy usul mavjud. 
Haqiqatan ham, yuqoridagi integralda 
2
x
t tg

 almashtirishni bajarsak, 
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
,
, cos
, sin
1
1
1
1
1
2
2
x
x
tg
tg
dt
t
t
x
arctgt dx
x
x
x
x
t
t
t
tg
tg













 
kelib chiqadi. Bu funksiyani integralga qoʻysak,  
2
1
2
2
2
2
1
2
,
( )
1
1
1
t
t
dt
I
R
R t dt
t
t
t















 
hosil boʻladi. Bunda R oʻz argumentlarining ratsional funksiyasi boʻlgani uchun R
1
 
ham ratsional funksiya boʻladi. Demak, berilgan integral ratsional – kasr 
funksiyalarni integrallashga keltiriladi.  
 
Shuni ta’kidlash kerakki, 
2
x
t tg

 universal almashtirish yordamida 
cos
sin
dx
a
x b
x c



 koʻrinishdagi integrallarni topish osonlashadi. 
 
Ba’zi hollarda bunday universal almashtirish murakkab ratsional – kasr 
funksiyalarni integrallashga olib keladi. Shuning uchun ba’zi hollarda boshqa 
almashtirishlardan foydalanish anchagina qulay boʻladi.  
 a) 
(sin ,
cos )
(sin , cos )
R
x
x
R
x
x

 
 boʻlsa, u holda 
sin x t
  almashtirish 
bajariladi. 
 b) 
( sin , cos )
(sin , cos )
R
x
x
R
x
x

 
 boʻlsa, u holda 
cos
x t

 almashtirish 
bajariladi. 
 c) 
( sin ,
cos )
(sin , cos )
R
x
x
R
x
x



 boʻlsa, u holda 
tgx t

 almashtirish 
bajariladi. 
 d) 
sin
cos
n
m
I
x
xdx



 integralni qaraylik. Bunda m, n – butun sonlar. 
 
Quyidagi uchta holni koʻramiz: 
 
1) m va n lardan hech boʻlmaganda biri toq son boʻlsin. Masalan, m-toq son, 
ya’ni m=2k+1, k-butun son. U holda 
2
2
2
sin ,
cos , cos
(1 sin )
(1
)
k
k
k
t
x dt
x
x
x
t


 
 
 almashtirishlar natijasida 
2
2
sin
cos
sin
cos
cos
(1
)
n
m
n
k
n
k
I
x
xdx
x
x
xdx
t
t
dt




 



 
funksiya hosil boʻladi. Demak, t ga nisbatan ratsional funksiyaning integraliga ega 
boʻlamiz. 

 
139 
 
2) m va n musbat juft sonlar boʻlsin, ya’ni m=2s, n=2k, s, k-natural sonlar. U 
holda integrallash jarayonida  
2
2
1 cos 2
1 cos 2
cos
, sin
, sin 2
2sin cos
2
2
x
x
x
x
x
x
x





 
formulalardan foydalanish maqsadga muvofiqdir. 
 
3) Agar m va n lar juft sonlar boʻlib, ularning kamida biri manfiy boʻlsa, 
yuqorida bayon qilingan usul maqsadga olib kelmaydi. Bunda tgx=t almashtirishni 
bajarish lozim boʻladi. 
 e) 
,
,
n
n
tg xdx
ctg xdx n



natural son, n>1 koʻrinishdagi integrallar mos 
ravishda 
tgx t

 yoki 
ctgx t

 almashtirishlar yordamida hisoblanadi.  
Masalan, 
2
,
,
1
dt
tgx t x arctgt dx
t




 almashtirishlarni bajarsak, 
2
1
n
n
t
tg xdx
dt
t




 hosil boʻladi. Demak, berilgan integral ratsional funksiyani 
integrallashga keltiriladi.  
 k) 
sin
cos
,
cos
cos
,
sin
sin
nx
mxdx
nx
mxdx
nx
mxdx






 koʻrinishdagi 
integrallarni hisoblash uchun ushbu 
1
sin
cos
(sin(
)
sin(
) ),
2
1
cos
cos
(cos(
)
cos(
) ),
2
1
sin
sin
(cos(
)
cos(
) ),
2
nx
mx
n m x
n m x
nx
mx
n m x
n m x
nx
mx
n m x
n m x















 
formulalardan foydalanib, berilgan integrallarni yig‘indining integraliga keltirish 
mumkin. 
 2-misol
. Integralni toping:  
1) 
5
;
tg xdx

   
2) 
4
.
cos
dx
x

 
 Yechish. 
1)
 
5
tg xdx

 integralni hisoblashda 
2
,
,
1
dt
tgx t x arctgt dx
t




 
almashtirishlarni bajaramiz. U holda 
 
5
4
2
2
5
3
2
2
2
4
2
4
2
2
2
1
(
1)
(
)
1
1
4
2
2
1
1
1
ln(
1)
ln(
1)
4
2
2
4
2
2
t
t
t
t
d t
tg xdx
dt
t
t
dt
t
t
t
t
t
tg x tg x
t
C
tg x
C



 










  


 




 
hosil boʻladi. 

 
140 
 2)
4
cos
dx
x

 integralning integral ostidagi funksiyasi uchun  
( sin ,
cos )
(sin , cos )
R
x
x
R
x
x



 
shart bajariladi, shu sababli uni hisoblashda 
tgx t

  almashtirishdan foydalanamiz. 
U holda 
3
3
2
2
4
(1
) (
)
(1
)
cos
3
3
dx
t
tg x
tg x d tgx
t dt t
C tgx
C
x




 
 





. 
 Mashqni 
bajaring.
 Integralni toping: 
1) 


;
2
sin
cos
3
cos
dx
x
x
x
           2) 
2
2
5 2
;
sin
tg x
dx
x


 
3) 
2
4
sin
cos
;
x
xdx

              4) 
8
7
cos sin
x
xdx

 
  Trigonometrik almashtirishlar yordamida integrallash usuli. 


2
,
R x ax
bx c dx



 integrallarning xususiy hollarini hisoblashni yuqorida 
qarab oʻtdik. Bu kabi integrallarni hisoblashning bir necha usullari mavjud boʻlib, 
bunda biz avval trigonometrik almashtirishlarga asoslangan hisoblash usulini 
koʻrib oʻtamiz. 
 
2
ax
bx c


 kvadrat uchhadni toʻla kvadratini ajratish va oʻzgaruvchini 
almashtirish natijasida 
2
2
u
k

 koʻrinishga keltirish mumkin. Shunday qilib, 
quyidagi uch turdagi integrallarni qaraymiz:  
2
2
2
2
2
2
1
2
3
( ,
) ,
( ,
) ,
( ,
) .
I
R u k
u du I
R u k
u du I
R u u
k du









 
 
1
I
 integral 
sin ,
cos
u k
t u k
t


 almashtirishlar natijasida 
sin , cos
t
t
 
funksiyalarga nisbatan ratsional funksiya integraliga keltiriladi. Haqiqatan ham, 
sin ,
0
u k
t k


 almashtirishdan foydalansak, 
2
2
cos
,
cos
du k
tdt
k
u
k
t



, 
2
2
( ,
)
( sin , cos ) cos
R u k
u du
R k
t k
t k
tdt




 boʻladi. 
 
2
I
 integral esa 
,
u k tgt u k ctgt


 almashtirishlar yordamida 
sin , cos
t
t
 
funksiyalarga nisbatan ratsional funksiya integraliga keltiriladi.  
 Haqiqatan 
ham, 
,
0
u k tgt k


 almashtirish bajaramiz. U holda 
2
2
2
,
cos
cos
k
k
du
dt
k
u
t
t



  
2
2
2
sin
( ,
)
,
cos
cos
cos
t
k
k
R u k
u du
R k
dt
t
t
t











.  

 
141 
 
3
I
 
 
integral 
sec
cos
k
u k
t
t


 yoki 
sin
k
u
t

 almashtirish yordamida sint va 
cost ga nisbatan ratsional funksiya integraliga keltiriladi. Haqiqatan ham, 
cos
k
u
t

 almashtirish bajaraylik. U holda 
2
2
2
sin
sin
,
cos
cos
k
t
t
du
dt
u
k
k
t
t



  
2
2
2
sin
sin
( ,
)
,
cos
cos
cos
k
k
t
k
t
R u u
k du
R
dt
t
t
t











 
boʻladi. 
sin , cos
t
t
 funksiyalarga nisbatan ratsional funksiya integraliga keltiriladi. 
Bu integrallar yuqorida keltirilgan metodlar yordamida hisoblanadi. 
 3-misol
. Integralni toping: 
2
2
.
a
x dx


   
 Yechish. 
x atgt

 almashtirish yordamida integralni 
2
2
a
x dx


2
2
2
2
3
2
(1
)
cos
cos
cos
x atgt
a
dt
a
tg t
dt a
a
t
t
dx
dt
t









 
koʻrinishda yozib olamiz. 
3
cos
dt
t

 integralni hisoblashni oʻquvchilarga havola 
qilamiz. 
 
2
2
a
x dx


 integralni quyidagicha boʻlaklab integrallash ham mumkin. 
2
2
a
x dx


2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
,
,
xdx
u
x
a du
a
x
a
x x
a
dx
x
a
x
a
dv dx
v x















 
2
2
2
2
2
2
2
a dx
x x
a
x
a dx
x
a








= 
2
2
2
2
2
2
2
ln |
|,
x x
a
x
a dx a
x
x
a








  
 
2
2
x
a dx


 funksiyani tenglikning chap tomoniga oʻtkazib, quyidagini 
hosil qilamiz: 
2
2
a
x dx


2
2
2
2
2
ln |
|
.
2
2
x
a
x
a
x
x
a
C






 
 Izoh.
 
2
2
2
2
,
a
x dx
x
a dx




 integrallarni ham boʻlaklab integrallash 
mumkin. Bu integrallarni mustaqil ishlang. 
 Eyler 
almashtirishi 
yordamida integrallash. 
2
( ,
)
I
R x ax
bx c dx




 
koʻrinishdagi integralni Eyler almashtirishlari yordamida hisoblash. Agar ildiz 
ostidagi kvadrat uchhadning haqiqiy ildizlari boʻlmasa va 
0
a
  boʻlsa, u holda 

 
142 
ildiz osti funksiya manfiy boʻlib, 
2
ax
bx c


 funksiya mavjud boʻlmaydi va 
integrallash masalasi oʻz ma’nosini yoʻqotadi. Shuning uchun quyidagi ikki hol 
mavjud. 
 1) 
0
a
  va 
2
ax
bx c


 uchhad haqiqiy ildizlarga ega boʻlsin. Bu holda  
t
x
x
x
a
c
bx
ax








)
(
)
)(
(
2



 
almashtirishni bajaramiz. Bunda 
,
 
 kvadrat uchhadning haqiqiy ildizlari. 
Soddalik uchun 
 
 , deb faraz qilamiz. Demak,  
,
,
)
(
)
(
,
)
(
)
)(
(
2
2
2
2
2
a
t
a
t
x
t
x
x
a
t
x
x
x
a


















 
2
2
2
2
2 (
)
(
)
,
(
)
(
)
a
t
a
t
dx
dt
ax
bx c
x
t
t
a
t
a
 
 





 




. 
 
Endi topilgan funksiyalarni berilgan integralga qoʻyib, t ga nisbatan ratsional 
funksiyaning integraliga ega boʻlamiz. 
 Agar 
 
  boʻlsa, 
2
2
)
(





x
a
c
bx
ax
 funksiya mavjud 
boʻlmaydi, chunki 
0
a
 . 
 2) 
0
a
  boʻlsin. Bu holda 
2
ax
bx c t x a

  
 
almashtirishni bajaramiz. Bundan  
 
2
2
2
2
2
t
c
bt c a t
a
ax
bx c t
a
b
t a
b
t a




  




 
kelib chiqadi. Topilganlarni berilgan integralga qoʻyib, yana 
t
ga nisbatan ratsional 
funksiyaning integraliga ega boʻlamiz.  
 
Yuqorida keltirilgan almashtirishlar Eyler almashtirishlari deb ataladi.