M sohasi: im yoʻnalis oliy V t “o iqtis matem

 

 
29 
1-teorema.
 
0
x  nuqta V  toʻplamning limit nuqtasi boʻlishi uchun 
0
x  nuqtaning 
ixtiyoriy atrofida V  toʻplamning cheksiz koʻp nuqtalari boʻlishi zarur va yetarli. 
 
 Yuqorida 
keltirilgan 
ta’riflardan birini qoʻllab 
0
1
2
limsin
0, lim
3
2
1
x
x
x
x
x






 
tengliklarni isbotlash mumkin. 
 
V  toʻplamda aniqlangan limitga ega funksiyalar oʻzlarining quyidagi 
xossalari bilan xarakterlanadi: 
1. 
( )
y
f x

 funksiya 
0
x
x
  da chekli limitga ega boʻlsa, u holda bu limit 
yagonadir;  
2. 
( )
y
f x

 funksiya 
0
x
x
  da chekli limitga ega boʻlsa, u holda 
0
x  
nuqtaning shunday 
0
( )
U x

 atrofi mavjudki, 
0
( )
U x
V

  toʻplamda ( )
f x  funksiya 
chegaralangan boʻladi.  
3. 
Agar
0
lim ( )
0
n
x x
f x
A

 
boʻlsa, u holda 
0
x nuqtaning shunday atrofi topiladiki, 
bu atrofda funksiyaning ishorasi 
A
sonning ishorasi bilanbirxilboʻladi.  
4. 
Agar biror
0


 sonvabarcha 
0
0
( )
x
U x


nuqtalar uchun 
0
0
lim ( )
, lim ( )
n
n
x x
x x
f x
A
g x
B




boʻlib, ( )
( )
f x
g x

boʻlsa, u holda
B
A

 boʻladi. 
 
 
y
f x

 funksiya biror bir 
( , )
V
a

  nurdaaniqlangan boʻlsin. 
3-ta’rif. 
Agar ixtiyoriy 
0


 son uchun shunday bir  ( ) 0
K

  sonni koʻrsatish 
mumkin boʻlib, barcha  x
K
  munosabatni qanoatlantiruvchi  x  lar uchun 
 
f x
b

 
 tengsizlik oʻrinli boʻlsa, u holda 
b
 soni 
 
f x
 funksiyaning  x
   
dagi limiti deyiladi. 
 
 
y
f x

 funksiyaning  x
   limiti ham yuqoridagi kabi ta’riflanadi. 
4-ta’rif. 
Agar ixtiyoriy 
0
A

 son uchun shunday 
 
0
A


son topilsaki 
0
0
x x

 

 boʻlganda 
 
f x
A

 tengsizlik bajarilsa, u holda 
 
f x
 funksiya
0
x
nuqtada cheksiz limitga ega deyiladi. 
 
 
Bu limitlar quyidagicha yoziladi 
0
0
lim ( )
, lim ( )
x x
x x
f x
f x


 
 
. Masalan, 
1) 
3
lim
3
1
1
3
x
x


 
  
 
; 2) 
3
lim
0
1
1
3
x
x


 
  
 
; 3) 
1
lim 1
x
x
e
x









; 4) 
2
3
lim
2
x
x

 

. 
 

 
30 
5-ta’rif. 
Agar ixtiyoriy 
0


 son uchun shunday 
0

  sonni topish mumkin boʻlib 


0
0
0
0
x
x x
x
x x


  
 

 shartni qanoatlantiruvchi barcha  x  lar uchun 
 
f x
b

 
 tengsizlik bajarilsa, 


0
0
(
0),
(
0)
b
f x
b
f x




 son 
 
f x
 
funksiyaning 
0
x  nuqtadagi chap (oʻng) limiti deyiladi. 
 
Bu limit quyidagichayoziladi 






0
0
0
0
0
0
0
lim
( )
0
lim
( )
x x
x x
b
f x
f x
b
f x
f x
 
 

 



. 
Masalan, 1. 
2
2
2
lim 4
x
x


 funksiyada 
2
2
2
2
2 0
2 0
lim 4
0,
lim 4
.
x
x
x
x


 
 

 
 
2. 
2
2
(
2)
1,
2;
( )
(
2)
1,
2
x
agar x
y
f x
x
agar x
 




 




 funksiyada 
2 0
2 0
lim ( ) 1, lim ( )
1
x
x
f x
f x
 
 

  . 
 
 
y
f x

 funksiyaning 
0
x  nuqtada limiti mavjud boʻlishi uchun bu 
funksiya shu nuqtada chap va oʻng limitlarga ega boʻlib,




0
0
0
0
f x
f x



 
tenglik bajarilishi zarur va yetarli. 
 
Quyidagi teoremalar limitlar haqidagi asosiy teoremalar deb atalib, funksiya 
limitlarining asosiy xossalarini ifodalaydi: 
 
0
lim
,
x
x
f x
A


 
0
lim
x
x
g x
B


 boʻlsin. U 
holda 
1)
 
 


 
 
0
0
0
lim
lim
lim
;
x
x
x
x
x
x
f x
g x
f x
g x
A B






 
 
2)
   
 
 
0
0
0
lim
lim
lim
;
x
x
x
x
x
x
f x
g x
f x
g x
A B






 
 
3)
 
 
 
 


0
0
0
lim
lim
0 .
lim
x
x
x
x
x
x
f x
f x
A
B
g x
g x
B






 
 
Yuqoridagi teoremalar funksiyalarning limitlarini hisoblashda qoʻllaniladi. 
Masalan, 
limsin
sin
lim
0;
cos
limcos
x
x
x
x
x
x
x








 
lim(sin cos ) limsin limcos
0;
x
x
x
x
x
x
x








 
lim(sin
cos ) limsin
limcos
1.
x
x
x
x
x
x
x









 
 
 Amaliyotda 
koʻp qoʻllaniladigan ajoyib limitlar nomini olgan limitlarni 
keltirib oʻtamiz: 
1-ajoyib limit: 
0
sin
lim
1
x
x
x

 ; 

 
31 
2-ajoyib limit: 


1
0
lim 1
x
x
x
e


 . 
 
Bu ajoyib limitlarning boshqa shakllari ham mavjud boʻlib ular 
quyidagilardir: 
 1) 
0
lim
1
x
tgx
x

 ;     2) 
0
arcsin
lim
1
x
x
x

 ;     3) 
0
lim
1
x
arctgx
x

 ; 
 4) 


1
0
lim log 1
log
x
a
a
x
x
e



;      5) 


1
0
limln 1
1
x
x
x


 ; 
 Funksiyalarni 
solishtirish. 
a) ekvivalent funksiyalar. 
0
x  nuqtaning 
qandaydir atrofida  ( ), ( ), ( )
f x g x h x  funksiyalar aniqlangan boʻlib, 
0
( )
( ) ( ), lim ( ) 1
x x
f x
g x h x
h x


  boʻlsin. U holda  ( )
f x  va  ( )
g x  funksiyalar 
0
x
x
  
da ekvivalent funksiyalar deyiladi va 
0
x
x
  da  ( )
( )
f x
g x

 koʻrinishda yoziladi. 
Masalan, 0
x
  da sin x x

;  x
   da 
4
2
2
1
x
x
x


. Bu kabi funksiyalarni quyida 
keltirib, ularning isbotini mustaqil bajarishni tvsiya etamiz. 
2
3
1
,
,
,
arcsin
,
,
(1
)
1
,
1 cos
,
2
1
.
0
2
x
e
x
tgx x
shx x
x x
arctgx x
x
x
x
x
x
chx
x















 















  
b) limitni hisoblashda funksiyalarni ekvivalent funksiyalar bilan almashtirihsh. 
 
1-teorema.
 Agar 
0
x
x
  da 
1
1
( )
( ), ( )
( )
f x
f x g x
g x


 boʻlib, 
0
1
1
( )
lim
( )
x x
f x
g x

 mavjud 
boʻlsa, u holda quyidagi tenglik oʻrinli boʻladi: 
0
0
1
1
( )
( )
lim
lim
( )
( )
x x
x x
f x
f x
g x
g x



. 
 

 
32 
 1-misol.
 


0
arcsin
1
lim
cos
cos3
x
x
x e
x
x




 limitni hisoblashni 1- teorema yordamida 
amalga oshiramiz. Bu yerda 
0
x
x
  da arcsin x x
 , 
1
x
e
x
  , 
cos
cos3
2sin sin 2 ,
x
x
x
x


 sin x x
 , sin 2
2
x
x

 boʻlgani uchun 
0
x
x
  da 


2
arcsin
1
x
x e
x

 
, 
2
cos
cos3
4
x
x
x


. U holda 


0
arcsin
1
1
lim
.
cos
cos3
4
x
x
x e
x
x





 
 
1
( ),
( ,..., )
n
n
y
f M
M x
x
V
R

 
  funksiya va 
0
M   urinish nuqtasi berilgan 
boʻlsin. 
 
6-ta’rif. 
Agar 
A
 nuqtaning ixtiyoriy  ( )
U A  atrofi uchun 
0
M  nuqtaning 
0
(
)
U M  
atrofi mavjud boʻlib, 
0
(
(
))
( )
f M
U M
U A


 munosabat oʻrinli boʻlsa, u holda 
A
 
nuqta ( )
f M  funksiyaning 
0
M  nuqtadagi limiti deb ataladi. 
 
7-ta’rif. 
Agar ixtiyoriy 
0

  uchun shunday  ( ) 0
 
  topilib, 
0
(
,
)
M M


  
munosabat oʻrinli boʻlgan barcha  M V
  nuqtalar uchun 
 
f M
b

 
 tengsizlik 
bajarilsa, u holda b soni  ( )
f M  funksiyaning 
0
M  nuqtadagi limiti deyiladi va u 
quyidagicha yoziladi: 
 


0
0
1
1
0
2
2
0
1
2
.............
lim
, lim
,
,...,
n
n
n
M
M
x
x
x
x
x
x
f M
b
f x x
x
b






 
 
 2-misol.
 1) 
2
3
0
3
3
4
12
6
lim
;
7
10
5
x
y
x
y
x
y





 
 2) 
2
2
0
0
lim
x
y
xy
x
y



funksiya limiti mavjud 
emas. Chunki 


1 1
,
,
k
k
x y
k k


 



 
ketma-ketlik  R
  da (0,0)  nuqtaga intiladi. 
 
2
2
,
xy
f x y
x
y


 
funksiya 
1 1
1
,
2
f
n n

 




 
ga teng, ya’ni 


0
0
1
lim
,
.
2
x
y
f x y



 


'
'
1 1
,
,
n
n
x y
n n








 
ketma-ketlik ham  R
  da (0,0) nuqtaga intiladi.  
2
1
1
,
1







 
n
n
f
 
ya’ni  
 
0
0
1
lim
,
2
x
y
f x y


  bu esa 1-ta’rifga zid. 
 Ma’limki,  ( ),
n
y
f M
M V
R

 
  funksiyaning 
0
M nuqtadagi limitini 
qarayotganimizda bu nuqta V toʻplamga tegishli boʻlishi ham tegishli boʻlmasligi 

 
33 
ham mumkin. Agar 
0
M
V
  boʻlib 
0
lim
( )
M
M
f M
b


 limit mavjud boʻlsa, u holda bu 
limit qyidagicha yoziladi: 
0
0
lim
( )
(
)
M
M
f M
b
f M

 
 
va ( )
y
f M

 funksiya 
0
M  nuqtada uzluksiz deb ataladi. 
 Agar 
V   toʻplam 
0
M nuqtaning qandaydir 
0
(
)
U M   atrofini ham oʻzichiga 
olsin. U holda 
( )
y
f M

funksiyaning 
0
M   nuqtadagi barcha 
0
(
)
U M   atrofi 
boʻyicha limitiga har tomonlama limit deyiladi. 
 
3-misol. 
2
2
4
2
( , )
, ( , )
\ (0;0)
x y
f x y
x y
R
O
x
y



 
funksiyaning (0;0)
O
 
nuqtadagi limiti mavjudligini turli yoʻnalishlar va 
2
y x
  parabola boʻyicha 
oʻrganamiz.  
 1) 
2
4 2
2
0
0
,
lim ( , ) lim
0;
t
t
a bt
x at y bt
f at bt
a t
b



 



 
 2) 
2 2
2
2
4
2 2
0
0
1
lim ( , ) lim
.
( )
2
t
t
x x
y x
f x x
x
x







 
Demak, bu funksiyaning har tomonlama limiti mavjud emas. 
 
8-ta’rif.
 
)
,
(
lim
)
sin
,
cos
(
lim
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
0
0
0
0
0
0
0
y
x
f
t
y
t
x
f
L
y
x
O
y
x
y
x
y
x
t












 ifodaga  ( , )
f x y  
funksiyaning 
0
0
( , )
x y  nuqtadagi 
)
sin
,
(cos



l
 yoʻnalish boʻyicha limiti 
deyiladi. Bu yerda 
L
 
0
0
( , )
x y  nutadan l  chiquvchi nur. 
 
 4-misol.
 
2
2
2
)
,
(
y
x
xy
y
x
f


 funksiyaning (0,0) nutadagi 
)
sin
,
(cos



l
 
yoʻnalish boʻyicha limitini hisoblaymiz. 
2
2
2
2
2 cos
sin
( cos , sin )
2sin cos
sin 2 ,
0
cos
sin
t
t
f t
t
t
t
t















. 
U holda 
( , ) (0,0)
lim
( , ) sin 2
x y
f x y



. 
 
Oʻz-oʻzini tekshirish uchun savollar 
1)  Funksiyaning limiti. 
2)  Аjоyib limitlаr. 
3)  Bir tоmоnlаmа limitlаr. 
4)  Limitlаr hаqid ааsоsiy tеоrеmаlаr. 
5)  Chеksiz kichik vа chеksiz kаttа funksiyalаr. 

 
34 
23-mavzu. Funksiya uzluksizligi 
 
Reja:
 
23.1.  Bir oʻzgaruvchili funksiyaning uzluksizligi. 
23.2.  Koʻp oʻzgaruvchili funksiyalarning uzluksizligi. 
 
 
Tаyanch soʻz va ibоrаlаr:
 nuqtаdа uzluksiz funksiya, toʻplаmdа 
uzluksizlik, bir tоmоnlаmа uzluksizlik, birinchi tur uzilish nuqtаsi, bаrtаrаf etilishi 
mumkin uzilish nuqtаsi, ikkinchi tur uzilish nuqtаsi. 
 
 
Uzluksizlik tushunchasi funksiyaning asosiy xarakteristikalaridan biri boʻlib, 
u amaliyotda muhim ahamiyatga ega. Faraz qilamiz, 
( )
y
f x

 funksiya 
1
V
R

toʻplamda aniqlangan boʻlib, 
0
x
V
  boʻlsin. 
 
1-ta’rif (Koshi).
 Agar ixtiyoriy 
0

  son uchun biror  ( ) 0
 
  son topilib,
0
x x


   oʻrinli boʻlganda 
 
 
0
f x
f x



 tengsizlik bajarilsa, u holda 
( )
y
f x

 funksiya
0
x nuqtada uzluksiz deyiladi. 
 
2-ta’rif.
 Agar  ( )
f x  funksiya V  toʻplamning har bir nuqtasida uzluksiz boʻlsa, u 
holda u V  toʻplamda uzluksiz deyiladi. 
 
3-ta’rif (Geyne).
 Agar V  toʻplamdan olingan va 
0
x  nuqtaga intiluvchi har qanday 
 
n
x  ketma-ketlik uchun,  ( )
f x  funksiya qiymatlaridan iborat 


( )
n
f x
 sonli 
ketma-ketlik 
0
( )
f x  ga yaqinlashsa, u holda bu funksiya 
0
x  nuqtada uzluksiz 
deyiladi. 
 
4-ta’rif.
 Agar 
0
0
(
0)
( )
f x
f x


 tenglik oʻrinli boʻlsa, u holda  ( )
f x  funksiya 
0
x  
nuqtada chapdan uzluksiz deyiladi. Bu tenglik oʻrinli boʻlmasa, ( )
f x funksiya 
0
x  
nuqtada chapdan uzilishga ega boʻladi. 
 
5-ta’rif.
 Agar
0
0
(
0)
( )
f x
f x


 tenglik oʻrinli boʻlsa, u holda  ( )
f x  funksiya 
0
x  
nuqtada oʻngdan uzluksiz deyiladi.