Markaziy limit teremasi

Markaziy limit teremasi
Lyapunov tomonidan taklif etilgan xarakterli funktsiyalar usuli ehtimollik nazariyasi analitik apparatining asosiy vositalaridan biridir. Bundan tashqari, bu usul turli xil limit teoremalarini isbotlashda juda samarali bo'lib, uning rivojlanishi va keng qo'llanilishiga olib keladi. Tasodifiy qiymatlar (haqiqiy qiymatlarni qabul qilish) bilan bir qatorda, xarakterli funktsiyalar nazariyasi murakkab tasodifiy qiymatlarni jalb qilishni talab qiladi.
Tasodifiy miqdorlarga tegishli ta'riflar va xususiyatlarning aksariyati murakkab holatga osongina ko'chiriladi. Shunday qilib, matematik taxminlar aniqlansa, murakkab tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutgusi aniq hisoblanadi и . Bunday holda, ta'rifga ko'ra, biz ishonamiz . Tasodifiy elementlarning mustaqilligini aniqlashdan , boshlab , murakkab qadriyatlar, mustaqil va faqat tasodifiy o'zgaruvchilar juftlari mustaqil bo'lganda va faqatgina mustaqil ekanligini aniqlash qiyin и emas .
F=F( - n-o'lchovli b tarqatish funktsiyasi ( uning xarakterli funktsiyasi funktsiya deb ataladi

Bu integral barcha haqiqiy t uchun birlashadi, chunki mutlaq qiymatlar birlikdan oshmaydi va yaqinlashadi.

Если B qiymatlari bilan probabilistik makonda (ō, F, P) aniqlangan tasodifiy vektor bo'lsa , uning xarakterli funktsiyasi funktsiya deb ataladi

qaerda -vektor tarqatish funktsiyasi ).

F (x) funktsiyasi f=f(x) zichligiga ega bo'lsa, u holda

=

Yoki, bu holda , xarakterli funktsiya F(x) funktsiyasining Fourier konvertatsiyasidir.

Bundan tashqari, tasodifiy vektorning xarakterli funktsiyasi tenglik bilan aniqlanishi mumkin

Boshqa tomondan, agar x- yakuniy yoki hisoblash sonidagi qiymatlarni ehtimollik bilan qabul qiladigan alohida tasodifiy qiymat bo'lsa, unda

Xarakterli funktsiyaning asosiy xususiyatlarini ko'rib chiqing:

| (t)| barcha t uchun .
Так как Shuning uchun | (t| /


(0)=1, chunki g(0) =



f ning taqsimlanishi nosimmetrik bo'lsa, u holda va faqat haqiqiy raqamli funktsiya.
, t .Ya'ni , tasodifiy miqdorlarni taqsimlash funktsiyalari- va bir xil, ya'ni P ( .

Y=aX+b bo'lsin, bu erda x zichligi va xarakterli funktsiyasi bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchidir . Keyin:

Mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar summasining xarakterli funktsiyasi atamalarning xarakterli funktsiyalari mahsulotiga tengdir.
Xarakterli funktsiyalarning ayrim misollari:


1 ehtimolligi bilan, ya'ni , то .

Если X da zichlik bilan indikativ taqsimot mavjud bo'lsa при х , u holda .

Tasodifiy o'zgaruvchining xarakterli funktsiyasi uning tarqatish funktsiyasini aniq belgilaydi.
Davolash uchun teoremani - formulani ko'rib chiqing. Tarqatish funktsiyasi va





uning xarakterli funktsiyasi.
a) funktsiya uzluksiz bo'lgan har qanday ikki nuqta uchun , непрерывна,

b) Agar

ushbu tarqatish funktsiyasi zichlikka ega , ,

va

Bochner-Hinchin Teoremasi.

Пусть Uzluksiz funktsiyasi bo'lsin, , va. Xarakterli funktsiyani amalga oshirish uchun, u salbiy bo'lmagan-aniq, ya'ni har qanday haqiqiy va har qanday murakkab sonlar uchun etarli bo'lishi kerak va etarli , ,

Xarakterli funktsiyalar usuli, shuningdek, davomiylik Levi teoremasi deb ataladi. Bu tasodifiy o'zgaruvchining xarakterli funktsiyalarining oqim yaqinligini taqsimlash uchun bu tasodifiy miqdorlarning o'xshashligi bilan bog'laydigan natijadir.

Xarakterli funktsiyalar usulining mohiyati quyidagicha. { Tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligi, albatta, bir probabilistik fazoda belgilangan emas Xn tasodifiy o'zgaruvchining xarakterli funktsiyasini bildiramiz, bu erda n , ramz . Keyin n va pH(t) da tarqatish x ning xarakterli funktsiyasidir .
Va orqaga, agar , qaerda -haqiqiy argument vazifasi, uzluksiz nulda, pH (t)ba'zi tasodifiy x qiymatining xarakterli funktsiyasi va n da tarqatish .
Har qanday tasodifiy o'zgaruvchining xarakterli funktsiyasi nolga teng bo'lgani uchun, ikkinchi bayonot quyidagi ahamiyatsiz natijaga ega. Agar , bu erda n (t) xn ning xarakterli funktsiyasi va (t) x ning xarakterli funktsiyasi bo'lsa, u holda n da tarqatish .
Xarakterli funktsiya tushunchasi tasodifiy miqdorlarning yakuniy va cheksiz tizimlariga (ya'ni tasodifiy vektorlar va tasodifiy jarayonlarga) umumlashtirilishi mumkin.